完備Brouwerian格上矩陣方程的極大解問題

2018-05-21 11:24:57黃新宇

皖西學院學報 2018年2期

關鍵詞：定義數學

黃新宇，岳芹

(皖西學院金融與數學學院，安徽六安 237012)

1 預備知識

討論完備Brouwerian格上∧-→型矩陣方程極大解的存在問題。先給出相關概念。

定義1.1設(P，≤)是一個偏序集，a∈P，若對?x∈P，只要x≥a，就有x=a，則稱a是P的一個極大元。

定義1.2如果格L滿足：對?a,b∈L，滿足a∧x≤b的最大元x存在，則稱L為完備Brouwer格，記該最大元為a→b。

下面是一個Brouwer格的例子。

例1.1①設N為非負整數構成的集合，a,b∈N，定義a≤b當且僅當a|b，則(N，≤)是一個完備格，其中a∧b=g.c.d{a,b}，a∨b=l.c.m{a,b}，g.c.d與l.c.m分別表示a與b的最大公因子與最小公倍數。再定義a→b=l.c.m{x∈N:a∧x≤b}，則L=(N,∧,∨,≤)是一個Brouwer格，0與1分別是L的最大元與最小元。

下面所討論的格L，如無特殊說明，均指完備Brouwer格L。

L上的∧-→型矩陣方程有以下三種基本類型②：

第一類：已知A=(a1,a2,…,an)，b∈L，確定X=(x1,x2,…,xn)T使

A*X=b

(1.1)

成立。記χ°={X：A*X=b}。

第二類：已知A=(aij)m×n，B=(b1,b2,…,bm)T，確定X=(x1,x2,…,xn)T使

A*X=B

(1.2)

成立。記χ1= {X：A*X=B}。

第三類：已知A=(aij)m×n，B=(bik)m×r，確定X=(xjk)n×r使

A*X=B

(1.3)

成立。記χ2= {X：A*X=B}。

2 三類方程有解的充要條件及其它們之間的關系

引理2.1[1]方程(1.1)有解，即χ°≠φ當且僅當AT°b∈χ°，且對?x∈χ°，x≥AT°b。這里AT°b=(a1∧b,a2∧b,…,an∧b)。

為了引入下面的引理，先引入一個記號。

證明：(1)顯然成立，下證(2)。

充分性顯然，僅證必要性

方程(1.3)等價于r個無關的方程[4]

A*(x1k,x2k,…,xnk)T=(b1k,b2k,…,bmk)T，

k=1,2,…,r

證明：顯然。

3 極大解的存在情況

我們已經在有解的情況下，給出了L上∧-→型矩陣方程的最小解的表達式，如果對方程的每一個解還能找到一個大于等于它的極大解，則方程的整個解集便可完全確定。但下面這個例子說明了L上∧-→型矩陣方程的解集即使非空，對于方程的每一個解也不一定能找到一個大于等于它的極大解。

例3.1設L是如例1.1中的完備Brouwerian格，A=(0,0),b=3，則對方程(1.1)的每個解X，并不都能找到一個極大解X*，使得X*≥X。

證明：顯然X=(6,9)T是方程(1.1)的解。假設存在極大解X*=(x1,x2)T，使得X*≥X，則有 (0→x1)∧(0→x2)=3，所以x1=3a,x2=3b，其中a,b為自然數，且(a,b)=1。因為(a,b)=1，6|3a，所以b必為奇數。這樣 (2a,b)=1。所以(2x1,x2)=3(2a,b)=3，從而X**=(2x1,x2)T∈χ°，且X*>X，與X是χ°的極大元矛盾。

4 方程(1.1)有極大解的充要條件[5]

本節在χ°非空時，給出L上方程(1.1)的每一個解都存在一個大于等于它的極大解的充要條件。先給出如下的引理。

定理4.2如果χ°≠φ，X∈χ°，則存在χ°的一個極大元X*滿足X*≥X的充要條件是存在L的有限子集B滿足

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(1)∧B=b，其中∧B表示B中所有元素的交；(2)?p∈B，若p≠1，則b≠∧(B/{P})；