基于對(duì)數(shù)效用函數(shù)的多屬性密封拍賣(mài)研究

（1.華中科技大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，湖北 武漢 430074；2.湖北工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，湖北 武漢 430068）

0 引言

傳統(tǒng)的拍賣(mài)研究主要關(guān)注價(jià)格屬性，而未將質(zhì)量、性能等屬性考慮在內(nèi)。事實(shí)上，這與招標(biāo)采購(gòu)的實(shí)際情況有一定的差異，比如電網(wǎng)公司物資采購(gòu)時(shí)，除考慮價(jià)格外，還考慮物品的質(zhì)量、供應(yīng)商的信譽(yù)等因素。對(duì)買(mǎi)者而言，有時(shí)物品的非價(jià)格屬性的重要性不亞于價(jià)格屬性。Che[1]在1993年提出了一個(gè)包含價(jià)格屬性和質(zhì)量屬性的二維拍賣(mài)模型，并通過(guò)分析幾種密封拍賣(mài)機(jī)制的投標(biāo)策略和收益，對(duì)多屬性拍賣(mài)進(jìn)行了比較全面的研究；Branco[2]研究了買(mǎi)者成本相關(guān)時(shí)的多屬性拍賣(mài)，提出可用一個(gè)兩階段拍賣(mài)模型來(lái)實(shí)現(xiàn)效用的最大化；David[3]將多屬性拍賣(mài)由二維擴(kuò)展到1+m（ 1+m≥ ）3 維，同時(shí)分析了收益相等原理的擴(kuò)展型；Bichler M[4]在實(shí)驗(yàn)中證明了多屬性拍賣(mài)中的效用評(píng)分明顯高于單屬性拍賣(mài)。Ganuza[5]研究了一個(gè)內(nèi)生私人價(jià)值模型，認(rèn)為適當(dāng)減少信息披露能使拍賣(mài)有更高的效率。國(guó)內(nèi)，姚升保[6]給出了基于冪函數(shù)的多屬性英式拍賣(mài)的描述性模型，并且分析了買(mǎi)賣(mài)雙方的最優(yōu)投標(biāo)策略；曾憲科[7]探討了在逆向多屬性英式拍賣(mài)和逆向多屬性第一得分密封拍賣(mài)中買(mǎi)賣(mài)雙方的最優(yōu)投標(biāo)策略，證明了在幾種多屬性拍賣(mài)機(jī)制中期望收益相等定理。

上述研究的一個(gè)共同特點(diǎn)是：Che，Branco等人在多屬性拍賣(mài)研究中大多選用冪函數(shù)來(lái)描述買(mǎi)賣(mài)雙方的效用。由于冪函數(shù)的特點(diǎn)，當(dāng)屬性值為0時(shí)，其效用才為0，這與現(xiàn)實(shí)略有不同，因?yàn)楫?dāng)某些屬性值低到一定程度后，該物品已經(jīng)無(wú)法使用，其實(shí)際效用已經(jīng)為0。岳超源[8]總結(jié)了用解析函數(shù)來(lái)近似效用函數(shù)中常用的下凹函數(shù)的函數(shù)種類(lèi)，比如冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)，認(rèn)為對(duì)數(shù)函數(shù)在一定程度上可以克服冪函數(shù)的這一缺點(diǎn)。這里，對(duì)數(shù)函數(shù)在真數(shù)為1時(shí)，其效用值已經(jīng)為0，這意味著如果用對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)表示屬性值，則當(dāng)屬性值低到一定程度時(shí)，該物品已經(jīng)無(wú)法使用。本文擬采用對(duì)數(shù)函數(shù)來(lái)描述買(mǎi)者的效用函數(shù)和評(píng)分函數(shù)，采用冪函數(shù)來(lái)表示賣(mài)者的效用函數(shù)和成本函數(shù)，并借助第一得分密封拍賣(mài)機(jī)制，探討賣(mài)者參與拍賣(mài)的基本條件，求解賣(mài)者的最優(yōu)投標(biāo)策略以及買(mǎi)賣(mài)雙方的期望效用，并討論買(mǎi)方偏離其真實(shí)偏好時(shí)應(yīng)如何公布其最優(yōu)評(píng)分函數(shù)等問(wèn)題。

1 問(wèn)題描述和模型

假定招標(biāo)采購(gòu)方（買(mǎi)者）采用第一得分密封拍賣(mài)機(jī)制采購(gòu)某個(gè)不可分割的物品。這里，該物品有一個(gè)價(jià)格屬性p和m（m≥2 ）個(gè)質(zhì)量屬性q1,q2,…,qm即該物品有一個(gè)1+m維的屬性組合；而且，投標(biāo)人（賣(mài)者）對(duì)該物品的m個(gè)質(zhì)量屬性有相對(duì)應(yīng)的成本參數(shù)C1,C2,…,Cm。設(shè)買(mǎi)者的效用函數(shù)為Ub，則買(mǎi)者的效用函數(shù)可以表示為Ub=Vb-p，其中Vb為買(mǎi)者關(guān)于該物品的效用值，p表示買(mǎi)者購(gòu)買(mǎi)該物品的價(jià)格。設(shè)賣(mài)者的效用函數(shù)為Us，則該賣(mài)者的效用函數(shù)可以表示為Us=p-Cs，其中p表示其價(jià)格值（報(bào)價(jià)），Cs表示賣(mài)者生產(chǎn)該物品的成本。

在拍賣(mài)開(kāi)始前，買(mǎi)者先公布要采購(gòu)的物品及該物品的m個(gè)質(zhì)量屬性，以及拍賣(mài)開(kāi)始的時(shí)間及時(shí)長(zhǎng)；該采購(gòu)采用第一得分密封拍賣(mài)的拍賣(mài)機(jī)制，且只允許每個(gè)賣(mài)者投標(biāo)一次。然后，買(mǎi)者公布評(píng)分函數(shù)Sb和最低評(píng)分值S0、以及參與拍賣(mài)的賣(mài)者人數(shù)n。接下來(lái)，賣(mài)者在規(guī)定時(shí)間內(nèi)出價(jià)。如果某個(gè)賣(mài)者不符合參加此次拍賣(mài)的條件，或者根據(jù)其給出的投標(biāo)向量計(jì)算出的評(píng)分值低于最低評(píng)分值S0，則該賣(mài)者被淘汰，并退出該拍賣(mài)。最后，得分最高的賣(mài)者即為贏者，獲得此標(biāo)的物，并且支付其投標(biāo)向量中的價(jià)格值。

進(jìn)一步的，假設(shè)賣(mài)者的人數(shù)n≥2，且：（1）買(mǎi)者和賣(mài)者都是理性的，都追求自身利益的最大化，都不會(huì)做出有損自己利益的行為。當(dāng)一個(gè)賣(mài)者勝出時(shí)，其他賣(mài)者的效用均為0。（2）買(mǎi)者的偏好權(quán)重W是其私人信息。

為了便于后續(xù)的分析和計(jì)算，再假設(shè)：

假設(shè)1 對(duì)于物品的任一質(zhì)量屬性j，買(mǎi)者的效用是遞增的，但是其邊際效用是遞減的，即?Ub/?qj＞0,?2Ub/?2qj＜0；任意一個(gè)賣(mài)者的生產(chǎn)成本是遞增的，邊際生產(chǎn)成本也是遞增的，即?Cj/?qj＞0,?2Cj/?2qj＞0。

對(duì)于買(mǎi)者而言，物品的某一質(zhì)量屬性值提高，其效用增加是必然的，但是隨著該屬性值的進(jìn)一步提高，其邊際效用是遞減的，這與實(shí)際情況相符合。而對(duì)于賣(mài)者而言，物品的某一質(zhì)量屬性值提高，其成本必然增加。如果進(jìn)一步提高該屬性值，則其成本會(huì)急劇增加，故而邊際生產(chǎn)成本是遞增的。

假設(shè)2 對(duì)于買(mǎi)賣(mài)雙方而言，關(guān)于該物品所有屬性的偏好之間都是相互獨(dú)立的。

當(dāng)屬性個(gè)數(shù)1+m≥3時(shí)，如果某人關(guān)于物品屬性的偏好之間是相互獨(dú)立的，那么就足以保證其加性?xún)r(jià)值函數(shù)的存在[8-9]，即所有屬性的價(jià)值函數(shù)可以表示為各屬性邊際價(jià)值函數(shù)之和。

假設(shè)3 賣(mài)者給出的投標(biāo)策略中所有質(zhì)量屬性值必須大于或者等于1；否則，該賣(mài)者被淘汰，并退出拍賣(mài)。

本文中買(mǎi)者的評(píng)分函數(shù)和效用函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù)，所以評(píng)分函數(shù)在屬性值為1時(shí)，其值為0，這意味著該屬性對(duì)買(mǎi)者而言其效用值為0。當(dāng)該屬性值小于1時(shí)，即該屬性對(duì)買(mǎi)者而言效用值為負(fù)。因此，本文要求賣(mài)者給出的投標(biāo)策略中的所有質(zhì)量屬性值必須大于或者等于1。

根據(jù)以上假設(shè)，可以給出賣(mài)者的成本函數(shù)、效用函數(shù)以及買(mǎi)者的效用函數(shù)如下：

（1） 賣(mài)者的成本函數(shù)為[3]：

式中：Cs表示賣(mài)者的成本函數(shù)，θ表示其成本參數(shù)。本文假定成本參數(shù)θ為賣(mài)者的私人信息，并在上服從獨(dú)立均勻分布，其分布函數(shù)和密度函數(shù)分別為F（θ）和f（θ） 。此外，αi（αi＞ 0 ）表示賣(mài)者賦給屬性qi的權(quán)重，而 βi＞1表示生產(chǎn)成本邊際遞增。為了方便討論，本文假定賣(mài)者的屬性成本參數(shù)和指數(shù)都相同[3]。這里，為了使生產(chǎn)成本邊際遞增，賣(mài)者的成本函數(shù)使用了冪函數(shù)。

（2）賣(mài)者的效用函數(shù)為：

式中：p表示其價(jià)格值，且Us≥0表示效用不會(huì)為負(fù)，即其投標(biāo)向量的價(jià)格值不能低于其成本。

（3）買(mǎi)者的效用函數(shù)為：

式中：p表示得分最高的賣(mài)者（即獲勝者）的價(jià)格值（即成交價(jià)）。Wi表示買(mǎi)者賦給屬性qi的權(quán)重以表示其對(duì)不同屬性的真實(shí)偏好程度，該值是買(mǎi)者的私人信息，δi＞1表示其效用邊際遞減。

在傳統(tǒng)的單屬性拍賣(mài)中，如果采用第一價(jià)格密封拍賣(mài)機(jī)制，那么報(bào)價(jià)最高的賣(mài)者獲勝。而在多屬性拍賣(mài)中，因?yàn)橘u(mài)者提供的投標(biāo)是一個(gè)價(jià)格屬性和m個(gè)質(zhì)量屬性組成的多維向量；所以為了確定獲勝者、并使得買(mǎi)者的效用最大化，需要根據(jù)買(mǎi)者的偏好，設(shè)計(jì)一個(gè)評(píng)分函數(shù)。

（4） 評(píng)分函數(shù)為：

其中：p表示賣(mài)者的價(jià)格值，δi＞1表示買(mǎi)者的邊際收益遞減。wi為買(mǎi)者公布的關(guān)于質(zhì)量屬性qi的偏好程度，wi表示質(zhì)量屬性qi相對(duì)價(jià)格屬性的重要程度。若wi=Wi，則表示買(mǎi)者公布的偏好為真實(shí)偏好，若wi≠Wi，則表示買(mǎi)者公布的偏好偏離其真實(shí)偏好。同時(shí)，在本文中，wi和Wi均不滿(mǎn)足歸一化條件。需要注意的是，出于策略考慮，買(mǎi)方公布的這一評(píng)分函數(shù)可能會(huì)偏離其真實(shí)偏好。對(duì)于所有賣(mài)者而言，該評(píng)分函數(shù)是共同知識(shí)。

2 招投標(biāo)策略分析

2.1 賣(mài)者投標(biāo)策略。拍賣(mài)中，賣(mài)者根據(jù)買(mǎi)者公布的評(píng)分函數(shù)和物品的m個(gè)質(zhì)量屬性要求，以及自身對(duì)這m個(gè)屬性的偏好，確定質(zhì)量屬性qi的最優(yōu)設(shè)計(jì)和最優(yōu)報(bào)價(jià)，最終形成一個(gè)1+m維的投標(biāo)向量。

命題1 對(duì)于任一賣(mài)者而言，當(dāng)wi≥θβiαilnδi時(shí)，其最優(yōu)投標(biāo)向量中的質(zhì)量屬性qi的最優(yōu)設(shè)計(jì)是其最高價(jià)格值為

證明：由上述分析可以給出賣(mài)者的目標(biāo)函數(shù)與約束函數(shù)如下：

為了求得最優(yōu)解，引入拉格朗日函數(shù)，令：

根據(jù)條件極值的定理，對(duì)式（5） 中的價(jià)格值p、質(zhì)量屬性值qi（i= 1,…,m ）以及參數(shù)λ求導(dǎo)，并令其等于0：

聯(lián)立上式可以求得：必須大于或者等于1，由假設(shè)3可知，則有≥1，即 wi≥θβiαilnδi。同時(shí)，通過(guò)觀察 pmax（）θ可以發(fā)現(xiàn)，其值就是令賣(mài)者的約束函數(shù)取等而得到的，因而也是其最高報(bào)價(jià)，對(duì)應(yīng)的含義是該賣(mài)者在此條件下的評(píng)分值為S0。同時(shí)不難看出，用拉格朗日函數(shù)求出的價(jià)格值與最優(yōu)質(zhì)量屬性是無(wú)關(guān)的，所以當(dāng)給定質(zhì)量屬性值時(shí)，價(jià)格越高則評(píng)分越低，故而此時(shí)賣(mài)者的價(jià)格值為其最高報(bào)價(jià)。所以，命題1得證。

命題2 對(duì)于最優(yōu)投標(biāo)向量中質(zhì)量屬性值都大于或等于1的任何一個(gè)賣(mài)者而言，當(dāng)-S0≤0 時(shí)，該賣(mài)者將被淘汰。

證明：由于賣(mài)者是理性行為人，故而其投標(biāo)是不會(huì)導(dǎo)致自己的效用為負(fù)的，故而令式（2）大于或者等于0，則有為了便于書(shū)寫(xiě)，記由式（2）可知，賣(mài)者的最優(yōu)效用值為其中p為價(jià)格值。故當(dāng)pmax（）θ≤pmin，即-S0≤0，此時(shí)賣(mài)者的最優(yōu)效用值為非正，其會(huì)被淘汰。所以，命題2得證。

相比采用冪函數(shù)作為評(píng)分函數(shù)的方法而言，采用對(duì)數(shù)函數(shù)作為評(píng)分函數(shù)會(huì)使得賣(mài)者的質(zhì)量屬性必須滿(mǎn)足假設(shè)3和命題1、2中的條件，這樣會(huì)淘汰一部分某些質(zhì)量屬性值低于臨界值而總得分比較高的賣(mài)者，從而保證物品的質(zhì)量屬性值整體較高。

由命題1和命題2可知，當(dāng)買(mǎi)者給定最低評(píng)分值S0時(shí)，賣(mài)者的最優(yōu)價(jià)格為pmax（）θ，那么此時(shí)賣(mài)者的效用必然最大。然而，該賣(mài)者報(bào)價(jià)pmax（）θ時(shí)，其評(píng)分值為最低評(píng)分值S0，所以該賣(mài)者未必能夠贏得拍賣(mài)，此時(shí)其期望效用可能為0。所以，要使得其期望效用盡可能大，該賣(mài)者應(yīng)該努力贏得該場(chǎng)拍賣(mài)，即該賣(mài)者應(yīng)采用最優(yōu)報(bào)價(jià)策略。

命題3 任一賣(mài)者的最優(yōu)價(jià)格值為則其最優(yōu)報(bào)價(jià)為p*（）θ；反之，該賣(mài)者將被淘汰。

證明：Che[3]給出了多屬性拍賣(mài)中最優(yōu)價(jià)格值這里，將代入到上式中可得再將最優(yōu)質(zhì)量屬性代入可得到：

由于賣(mài)者的最高價(jià)格值為pmax（θ），若p*（θ）≤pmax（θ），則該賣(mài)者的最優(yōu)報(bào)價(jià)為p*（θ）；當(dāng)p*（θ）＞pmax（θ）時(shí)，意味著賣(mài)者的最優(yōu)報(bào)價(jià)超過(guò)了其最高報(bào)價(jià)（賣(mài)者效用為0），所以賣(mài)者的最終報(bào)價(jià)為pmax（θ），但由于各賣(mài)者的θ值不完全相等，且都是理性人，故而該賣(mài)者不會(huì)贏得拍賣(mài)，所以其被淘汰。所以，命題3得證。

2.2 賣(mài)者期望效用。由命題1可知賣(mài)者最高報(bào)價(jià)為pmax（θ），如果p*（θ） ＞pmax（θ），那么賣(mài)者的最優(yōu)價(jià)格值為pmax（θ）。此時(shí)，其得分為S0，由于各賣(mài)者的θ值不完全相等、且賣(mài)方都是理性人，所以該賣(mài)者不會(huì)贏得拍賣(mài)。在2.1節(jié)中，討論了賣(mài)者的最優(yōu)投標(biāo)策略，給出了賣(mài)者的最優(yōu)質(zhì)量屬性和最優(yōu)價(jià)格的值。因此，得知賣(mài)者的最優(yōu)投標(biāo)向量為據(jù)此可以計(jì)算出賣(mài)者的期望效用Es：

其中：Us表示獲勝者的效用函數(shù)，n表示賣(mài)者的數(shù)量， （1- F（θ））表示獲勝者的競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手的成本參數(shù)比獲勝者的成本參數(shù)大的概率；否則，獲勝者是不可能獲勝的。故而，將式（2）、式（9）以及最優(yōu)質(zhì)量屬性和θ的分布函數(shù)代入式（10）中可得：

2.3 買(mǎi)者的期望效用及偏離真實(shí)偏好的情形。在2.1節(jié)中，本文討論了賣(mài)者的最優(yōu)投標(biāo)策略，即最優(yōu)投標(biāo)向量

這里，買(mǎi)者的期望效用需采用所有賣(mài)者中得分最高的賣(mài)者的最優(yōu)投標(biāo)向量、并結(jié)合買(mǎi)者的效用函數(shù)來(lái)計(jì)算。于是，利用此投標(biāo)向量可以計(jì)算出買(mǎi)者的期望效用Eb，即：

其中：Ub表示買(mǎi)者的效用函數(shù)， （1- F（y））n-1表示成本參數(shù)為y的賣(mài)者獲勝的概率。將公式（3） 以及最優(yōu)投標(biāo)向量代入到公式（12） 中，則有：

經(jīng)過(guò)整理可得：

上文中，討論了買(mǎi)者的期望效用，但是很明顯買(mǎi)者公布的評(píng)分函數(shù)直接影響期望效用的大小。所以，在賣(mài)者的信息未知時(shí)，如果想讓買(mǎi)者的期望效用最大，那么買(mǎi)者公布的偏好系數(shù)wi有可能偏離其真實(shí)偏好Wi。

命題4 對(duì)于任一賣(mài)者，買(mǎi)者公布的評(píng)分函數(shù)中買(mǎi)者對(duì)質(zhì)量屬性q的最優(yōu)偏好系數(shù)與其真實(shí)偏好系數(shù)W的關(guān)系為：

ii其中dx時(shí)，能夠使得買(mǎi)者的期望效用最大。

證明：從上文中可知，買(mǎi)者的期望效用Eb中包含有wi，故而直接對(duì)Eb求取wi的偏導(dǎo)數(shù)，則有：

令dx，則上式為觀察式子可以發(fā)現(xiàn)，A的大小對(duì)wi取值范圍起重要的作用。觀察A可以得到即 A＜1；同時(shí)有，A所以A的取值范圍為＜A＜1。故而此時(shí)買(mǎi)者的期望效用是遞增的。再令時(shí)，能夠使買(mǎi)者的期望效用最大化。故而，命題4得證。

由命題4可以看出

＜Wi，而成本參數(shù)θ最小的賣(mài)者最有可能贏得該拍賣(mài)，所以無(wú)論買(mǎi)者是否偏離關(guān)于質(zhì)量屬性的真實(shí)偏好，贏得該拍賣(mài)的賣(mài)者不會(huì)改變，但買(mǎi)者偏離真實(shí)偏好會(huì)使得賣(mài)者提交的最優(yōu)價(jià)格值變低，這對(duì)買(mǎi)者有利。

3 一個(gè)案例

某公司要以招投標(biāo)的方式采購(gòu)某一件物品。假定該公司看重賣(mài)者的報(bào)價(jià)p、物品的質(zhì)量q1和售后服務(wù)q2等3個(gè)屬性。同時(shí)，該公司決定采取第一得分密封拍賣(mài)方式來(lái)招標(biāo)采購(gòu)該物品。現(xiàn)有3個(gè)供應(yīng)商參加本次招投標(biāo)。

給定該公司（招標(biāo)方，即買(mǎi)者）的效用函數(shù)為Ub=-p+3log1.5q1+0.8log1.6q2，初始評(píng)分值S0=0，則有W1=3,W2=0.8；在該次招標(biāo)中，公布的評(píng)分函數(shù)是該公司的真實(shí)偏好，即wi=Wi。給定供應(yīng)商的效用函數(shù)為其中θ在［0.1, ］1上服從均勻分布，假定3個(gè)供應(yīng)商的成本參數(shù)依次為θ1=0.2,θ2=0.5,θ3=0.8。根據(jù)上文中給出的命題，可計(jì)算出該多屬性拍賣(mài)的結(jié)果，拍賣(mài)結(jié)果詳見(jiàn)表1。

表1 供應(yīng)商的占優(yōu)投標(biāo)策略

由表1可以看出，成本參數(shù)最低的供應(yīng)商1將獲勝，與命題4得出的結(jié)論相一致。此時(shí)，其評(píng)分值和買(mǎi)方的效用值相同，均為1.529；同時(shí)，可以發(fā)現(xiàn)，供應(yīng)商2和供應(yīng)商3的評(píng)分值為負(fù)數(shù)，經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，供應(yīng)商2和供應(yīng)商3的成本參數(shù)、成本系數(shù)等參數(shù)不滿(mǎn)足命題2的相關(guān)條件，因此供應(yīng)商2和供應(yīng)商3應(yīng)退出該招標(biāo)。

由表1還可以看出，買(mǎi)者的效用值為1.529，但此時(shí)買(mǎi)者的效用值不一定是最大的。進(jìn)一步的，利用命題4可計(jì)算出買(mǎi)者公布的偏好系數(shù)應(yīng)為w1=1.776,w2=0.475。根據(jù)本文中的命題可知，供應(yīng)商1獲勝，其最優(yōu)質(zhì)量屬性為=1.589，其價(jià)格值為p*（）θ=5.542。此時(shí)買(mǎi)者的效用值為1.543＞1.529。同時(shí)，對(duì)比供應(yīng)商1在買(mǎi)者公布真實(shí)偏好和偏離真實(shí)偏好下給出的最優(yōu)質(zhì)量屬性值和最優(yōu)價(jià)格值可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)買(mǎi)者偏離真實(shí)偏好時(shí)，賣(mài)者給出的價(jià)格值較低，這會(huì)降低買(mǎi)者采購(gòu)該物品的成本，所以，偏離真實(shí)偏好對(duì)買(mǎi)者有利。值得注意的是，偏好系數(shù)wi與Wi的關(guān)系是基于招標(biāo)方期望效用最大化的條件下得到的。

4 結(jié)束語(yǔ)

在大多數(shù)文章中，冪函數(shù)通常被作為買(mǎi)賣(mài)雙方的效用函數(shù)以及評(píng)分函數(shù)。本文采用對(duì)數(shù)效用函數(shù)和冪效用函數(shù)相結(jié)合的方法，以逆向多屬性采購(gòu)拍賣(mài)為背景，在第一得分密封拍賣(mài)機(jī)制下建立了一種逆向多屬性拍賣(mài)的模型。借助該模型，本文分析了賣(mài)者參與該拍賣(mài)的條件、最優(yōu)策略及其期望效用，證明了拍賣(mài)的有效性，并討論了基于買(mǎi)者期望效用最大化的評(píng)分函數(shù)系數(shù)設(shè)計(jì)，在該設(shè)計(jì)中，公布的評(píng)分函數(shù)系數(shù)偏離真實(shí)偏好對(duì)買(mǎi)者有利。

本文的研究是基于一定假設(shè)的，比如賣(mài)者的成本參數(shù)的分布函數(shù)、成本系數(shù)和指數(shù)相同等，這些均是今后研究需要進(jìn)一步放松的。

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