微積分知識在數列求和中的運用

摘要：數列求和是中學階段數列部分的重要內容之一，有許多初等解決方法。本文試圖用微積分知識探討一些特殊數列求和的方法，從中可見高等數學與中學數學的密切聯系。

關鍵詞：數列；求和；通項

一、 微分知識在數列中的應用

首先證明一個等式：

1+x+x2+…+xn=C1n+1+C2n+1（x-1）+C3n+1（x-1）2+…+Cn+1n+1（x-1）n。

事實上利用二項式定理有：

xn+1=[1+（x-1）]n+1=1+C1n+1（x-1）+C2n+1（x-1）2+…+Cn+1n+1（x-1）n+1。

而（x-1）（1+x+x2+…+xn）=xn+1-1，

因而（x-1）（1+x+x2+…+xn）=C1n+1（x-1）+C2n+1（x-1）2+…+Cn+1n+1（x-1）n+1

當x≠1時，兩邊同除以x-1得：

1+x+x2+…+xn=C1n+1+C2n+1（x-1）+…+Cn+1n+1（x-1）n

而當x=1時，左邊=n+1=C1n+1=右邊

則恒有：1+x+x2+…+xn=C1n+1+C2n+1（x-1）+…+Cn+1n+1（x-1）n（Ⅰ）

從（Ⅰ）式出發利用微分知識可推出以下求和公式：

公式1：1+2+…+n=12n（n+1）。

對（Ⅰ）式兩邊求導則有：

1+2x+3x2+…+nxn-1=C2n+1+2C3n+2（x-1）+…+nCn+1n+1（x-1）n-1（Ⅱ）

令x=1則得：1+2+…+n=12n（n+1）。

公式2：1·2+2·3+3·4+…+n（n+1）=13n（n+1）（n+2）。

由（Ⅰ）式可知：

1+x+x2+x3+…+xn+1=C1n+2+C2n+2（x-1）+…+Cn+2n+2（x-1）n+1

兩邊求二階導數，則：

1·2+2·3x+…+（n+1）nxn-1=1·2C3n+2+2·3C4n+2（x-1）+…+（n+1）nCn+2n+2（x-1）n-1

令x=1，則1·2+2·3+3·4+…+n（n+1）=2C3n+2=13n（n+1）（n+2）。

公式3：12+22+32+…+n2=16n（n+1）（2n+1）。

由（Ⅱ）式可知：

x+2x2+3x3+…+nxn=[C2n+1+2C3n+1（x-1）+…+nCn+1n+1（x-1）n+1]·[（x-1）+1]

=C2n+1+（C2n+1+2C3n+1）（x-1）+（2C3n+1+3C4n+1）（x-1）2+…+nCn+1n+1（x-1）n

兩邊求導得：1+22x+32x2+…+n2xn-1

=（C2n+1+2C3n+1）+2（2C3n+1+3C4n+1）（x-1）+…+n2Cn+1n+1（x-1）n-1（Ⅲ）

令x=1，則：12+22+32+…+n2=16n（n+1）（2n+1）

仿此，若（Ⅲ）式兩邊同時乘x求導后再令x=1，便會有：

公式4：13+23+33+…+n3=14n2（n+1）2。

二、 積分知識在數列求和中的應用

首先由二項式定理：（1+x）n=C0n+C1nx+C2nx2+…+Cnnxn

兩邊對x從0到1求積分，則：

∫10（1+x）ndx=∫10（C0n+C1nx+C2nx2+…+Cnnxn）dx

所以（1+x）n+1n+1|10=C0nx|10+12C1nx2|10+…+Cnnn+1xn+1|10

2n+1-1n+1=C0n+C1n2+C2n3+…+Cnnn+1

從而有：

公式5：C0n+C1n2+C2n3+…+Cnnn+1=2n+1-1n+1。

如果兩邊對x從0到2積分，則：∫20（1+x）ndx=∫20（C0n+C1nx+…+Cnnxn）dx

便可得到公式6：2C0n+22C1n2+23C2n3+…+2n+1Cnnn+1=3n+1-1n+1。

一般地便有：

公式7：kC0n+k2C1n2+k3C2n3+…+kn+1Cnnn+1=k+1n+1-1n+1（k∈N）。

由以上知識，解決下題：

例：θ≠2kπ（k∈N）且sinθ+2sin2θ+…+nsinnθ=0，求證：

（n+1）sinnθ=nsin（n+1）θ。

其巧妙證法可為：設f（θ）=sinθ+2sin2θ+…+nsinnθ

∫f（θ）dθ=∫（sinθ+2sin2θ+…+nsinnθ）dθ+C

=cosθ+cos2θ+…+cosnθ+C=-sinθ2+sin2n+12θ2sinθ2+C

由f（θ）=

-12cosθ2+cos2n+12θ·2n+12·

2sinθ2+sinθ2-sin2n+12θ·cosθ24sin2θ2=0

則：（n+1）sinnθ=nsin（n+1）θ

三、 小結

數列求和是中學階段數列部分的重要內容之一，本文運用微積分知識解決數列求和的中遇到的問題，從中可見高等數學與初等數學的密切聯系。本文未談到的，將有待我們大家進一步研究。

參考文獻：

[1]東北師大數學系編，劉玉鏈，傅仁沛著.數學分析（上、下冊）[M].北京：高等教育出版社（第三版），1992.

[2]人民教育出版社中學數學室編著，高級中學數學教科書[M].北京：人民教育出版社，2000.

[3]趙建剛.數列求和的幾種思維方法[J].延安教育學院學報，1999，1.

[4]毛毓球，賈玉友.數列求和的若干方法[D].江蘇教育學院，1997.

作者簡介：

鄭俊輝，浙江省嵊州市，嵊州市黃澤中學。