期初年金方程a··ni=k的迭代解法

摘要：本文討論了n期標準期初年金方程的Newton迭代解法，并提出了改進的迭代格式。

關鍵詞：年金方程;利率;Newton迭代法;數形結合;拐點

期初年金方程a··ni=k的迭代解法

一、 傳統的Newton法求解a··ni=k

（一） Newton法迭代格式的構造

n期標準期初年金是指每次的年金金額為1個貨幣單位，在合同生效時立即發生首次的現金流，共計n次。一般用記號a··ni表示利率為i的n期標準期初年金的現值，a··ni的基本計算公式：a··ni=（1+i）1-（1+i）-ni，（1）

當已知a··ni=k時，可以利用Newton法[2]構造迭代格式進行求解，其迭代格式為：

is+1=is1-（1+is）1-（1+is）-n-kis（1+is）-n（1+nis）-1（2）

（二） Newton法迭代初值的選取

式（1）中的（1+i）-n乘以（1+i）后，對其進行帶有佩亞諾型余項的Taylor公式展開可以得到：

（1+i）-n+1=1+（-n+1）i+（-n+1）（-n）2！i2+…+（-n+1）（-n）…（-n-m+2）m！im+o（im）（3）

用式（3）右端的前3項近似（1+i）-n+1，即：（1+i）-n+1≈1+（-n+1）i+（-n+1）（-n）2！i2（4）。將式（4）代入（1）式中，并令a··ni=k，得到i=2（n-k）n（n-1）。于是，本文得到了利用Taylor公式方法下的迭代初值i0=2（n-k）n（n-1）（5）。

（二） 改進的Newton法求解a··ni=k

按照傳統的Newton法得到的迭代格式（2），從形式上看較為復雜，本文將通過對Newton法進行相應的改進得到更優的迭代格式。

由a··ni=k可以得到（1+i）1-（1+i）-ni=k（6），對式（6）進行變形，易得：

（k-1）i-1（1+i）n-1+1=0（i>0，n∈Z+），

設f（i）=（k-1）i-1（1+i）n-1+1（i>0，n∈Z+），則期初年金方程a··ni=k的求解就轉化為方程f（i）=0的求根問題。當n=1，2時，方程f（i）=0是一次或二次方程，利用求根公式易得其解，本文此處不再贅述。本文主要考慮n>2時的情況，由a··ni=k易知k>1且k

f（i）=（k-1）i-1（1+i）n-1+1（7）

satisfyi>0n>2k>1k

探究f（i）的代數與幾何性質

對式（7）進行求導，可以得到：f′（i）=（k-1）（1+i）n-1+（n-1）（1+i）n-2（k-1）i-1=（1+i）n-2[i（k-1）n+k-n]（9）

由式（9）可以得到f（i）的一階零點i′0=n-kn（k-1），由條件（8）易知i′0>0。當ii′0時，f′（i）>0。所以f（i）在（0，i′0）范圍內單調遞減，在（i′0，+∞）范圍內單調遞增，且f（i）在i=i′0處取到最小值f（i′0）。對式（9）進行求導，可以得到：f″（i）=（n-2）（1+i）n-3[i（k-1）n+k-n]+（1+i）n-2（k-1）n=（1+i）n-3[in（n-1）（k-1）+（-n2+2kn-2k+n）]（10）

由式（10）可以得到f（i）的拐點（即二階零點）i″0=n-2kn（k-1），易知i″0i″0時，f″（i）>0。所以在沒有i>0這一約束條件下，f（i）在（-∞，i″0）范圍內是凹向原點的，在（i″0，+∞）范圍內是凸向原點的。

在考慮i>0這一約束條件下，本文繼續深入分析f（i）不存在拐點與存在拐點情況下f（i）的代數與幾何性質。（1）當f（i）不存在拐點i″0=n-2kn（k-1）≤0時，即n≤2k。

令g1（i）=（1+i）n-3，g2（i）=in（n-1）（k-1）+（-n2+2kn-2k+n），則有f″（i）=g1（i）·g2（i）。易知g2（i）中的-n2+2kn-2k+n=（2k-n）（n-1）≥0，所以g2（i）>0。又因為g1（i），g2（i）是增函數且g1（i）>0，g2（i）>0，所以f″（i）是增函數。取迭代初值i0=2i′0=2（n-k）n（k-1），根據帶有拉格朗日型余項的Taylor公式[4]易知存在ξ1∈（i′0，2i′0）以及ξ2∈（0，i′0）使得：f（i0）=f（i′0+i′0）=f（i′0）+f′（i′0）i′0+f″（ξ1）2！i2′0;f（0）=f（i′0-i′0）=f（i′0）+f′（i′0）（-i′0）+f″（ξ2）2！（-）2。由于i′0是f（i）的一階零點、f″（ξ1）>f″（ξ2），易知f（i0）>f（0）=0。

（2）當f（i）存在拐點i″0=n-2kn（k-1）>0時，即n>2k。

取迭代初值i0=2i′0=2（n-k）n（k-1），根據帶有拉格朗日型余項的Taylor公式易知存在η1∈（i′0，2i′0）以及η2∈（0，i′0）使得：f（i0）=f（i′0+i′0）=f（i′0）+f′（i′0）i′0+f″（η1）2！i′02;f（0）=f（i′0-i′0）=f（i′0）+f′（i′0）（-i′0）+f″（η2）2！（-）2。（11）

由于i′0是f（i）的一階零點，且η1∈（i′0，2i′0），有η1>i″0，所以f″（η1）>0。

當η2∈（0，i″0]（0，i′0）時，有f″（η2）≤0，因而有f（i0）>f（0）=0，

參考文獻：

[1] 吳嵐，黃海，何洋波.金融數學引論[M].2版.北京：北京大學出版社，2013：34-35.

[2] 丁麗娟，程杞元.數值計算方法[M].北京：高等教育出版社，2011：273-275.

作者簡介：孫紫儀，四川省綿陽市，西南科技大學理學院。