絕對值概念教學的幾點體會

馬小蕓　錢鑫

摘要：引導學生體會、領悟、挖掘、運用蘊含在概念教學中的數學思想方法。

關鍵詞：概念；數形結合思想；分類討論思想

《九年義務教育數學教學大綱》指出：“初中數學的基礎知識主要是概念、法則、性質、公式、公理、定理以及由其內容所反映出來的數學思想和方法。”學生數學能力的差異，后進生的分化，也往往從學習基本概念開始，所以在進行概念教學時，引導學生體會、領悟、挖掘、運用蘊含在概念教學過程中的數學思想方法是課堂教學的重要目標。

絕對值不僅是初一新生的學習難點，也是整個初中階段的數學學習過程中的一大難點，很多學生對絕對值概念理解不透，記憶模糊，更談不上靈活運用。下面就絕對值概念教學談幾點個人的體會：

一、 在絕對值概念引入過程中引導學生體會數學思想方法

本節教學目標要求：1. 理解并掌握絕對值的幾何定義與代數定義；2. 在絕對值概念的學習過程中體會數形結合思想方法和分類討論思想方法，豐富解決數學問題的策略。

在這節內容的教學中，首先創設情境引入概念：

問題：兩只蝸牛從同一處O出發，分別向東、西方向爬行7 cm，到達A、B兩處，它們的行駛路線相同嗎？它們行駛路程的遠近（線段OA、OB的長度）相同嗎？（學生畫圖討論）

學生討論回答兩只蝸牛的行駛路線相反，它們行駛的路程相同都是7 cm。

教師指出：在實際生活中，有時存在這樣的情況，無需考慮數的正負性質，比如：在計算蝸牛行駛的路程中，與它們行駛的方向無關，路程只需用正數（從形和數兩個角度去感受絕對值）。此時引入絕對值的幾何定義：數軸上表示數a的點與原點之間的距離。借助概念，學生很快得出|±6|=6，|-2.5，|0|=0。同時抓住時機滲透“數形結合”的思想方法，讓學生初步理解絕對值的幾何定義，體會一個數的絕對值對應的就是數軸上一條線段的長度，與表示這個數的點在原點的左邊或右邊無關。

然后出示例1.求下列各數的絕對值：+0.9，-5，-0.9，0，+5。

學生迅速口答得出正確答案。又提出：從以上答案中你能發現哪些結論？學生和老師共同歸納得出：①正數的絕對值是它本身；②0的絕對值是0；③負數的絕對值是它的相反數；④任何有理數的絕對值都是非負數；⑤一對相反數的絕對值相等。適時引入絕對值的代數定義，同時對概念提煉升華。這一環節教學中引導學生在已有結論的基礎上，從不同方面考慮問題，獲得新結論，層層深入，達到循序漸進的教學效果。同時學生領悟“分類討論”的思想方法，也就是求一個數的絕對值時，先判斷其正負，再確定其絕對值。

二、 在問題解決過程中運用概念，把握本質，領悟數學思想方法

很多學生對概念的學習只是停留在簡單機械記憶，直接應用，并沒有抓住概念的本質特征，更談不上靈活運用概念。在教學中，教師不但要引導學生直接應用概念，也要學會逆用概念解決數學問題，從而對概念有深刻本質的認識，從而達到真正掌握概念、靈活運用的目的。如下列問題：

（1） 已知|x|=4，求x的值。（2）已知|x|≤4，求滿足條件的整數x的值。（3）若|x|=-x，則x0。

分析：在問題（1）中，學生會出現兩種不同解法，方法一：求絕對值等于4的數就是找出數軸上到原點距離等于4的數，即x=±4；方法二：數x既可以是正數又可以是負數，所以當x是正數時，x=4，當x是負數時，-x=4，即x=-4。方法一運用了絕對值的幾何定義，方法二則運用了絕對值的代數定義，這兩種解法分別體現了數形結合的思想方法和分類討論的思想方法。

問題（2）與問題（1）相比，難度略有增加，這里可以帶領學生換個角度來讀題，把|x|借助概念“翻譯”為“數軸上表示數x的點到原點的距離”，貌似死搬概念，學生卻有恍然大悟的感覺，同時學生也體會到概念的重要性。這時學生馬上就會想象數軸上到原點距離不大于4的整數都有哪些，在這一過程由數想圖、由圖想數，充分體現了數形結合的思想方法，問題（2）馬上得到準確解答。

問題（3）的解答，多數學生會填“>”，卻忽略了0的絕對值等于0的本質是：0的絕對值即等于它本身又等于它的相反數，從而造成了漏解。也體現出學生對所學概念沒有把握本質特征。

三、 變式引申，強化探索，運用數學思想，提升數學能力

概念的教學不能只停留在新授課上，增加變式練習，才能使學生對概念的理解更透徹，運用更自如。如以下問題：

（4）已知a

分析：問題（4）對于初一新生而言會感到比較難，不知從哪下手，實質上此題難在學生對用字母表示數認知模糊，思維上對字母與數的角色轉換沒有意識，只要引導學生逐一分析出a、b-c、a-b、c的正負，學生就會得出|a|=a，|b-c|=b-c，|a-b|=-（a-b），|c|=-c這樣學生就能順利化簡。在此題的解答過程中，絕對值的代數定義是解決問題的核心，通過這一問題的解答，概念的認知就會更明確，其中滲透的分類思想也顯現出來。

學生在已經基本掌握絕對值概念后，面對問題（5）仍會有不知所措的感覺，解決的關鍵是|x-1|的化簡，把復雜問題簡單化，提出如何化簡|x-1|，這里既沒有圖形，又不知x的取值范圍，提示學生把x-1看作一個整體時該怎樣化簡，這時學生們會按x-1>0、x-1=0、x-1<0分別化簡，這時師生共同探討x-1>0、x-1=0、x-1<0時，x>1、x=1、x<1。至此難點解決，引導學生寫出此方程的解答過程即可。在這一問題的探究中，學生不僅學習運用了分類討論的方法解決問題，同時也體會到了整體思想及轉化思想的運用。

問題（6）的提出是建立在問題（5）的基礎上，學生對單獨化簡|x-1|和|3+x|有了一定的認識，教師可以明確指出x的化簡分x>1、x=1、x<1三種情況，|3+x|的化簡分x>-3、x=-3、x<-3三種情況，但綜合在一個題中就要全面考慮x的取值范圍，同時兼顧兩個絕對值的化簡，此時利用數軸展示引導學生得出：按x<-3，x=-3、-31五種情況分類化簡。

通過上面變式問題的學習，學生對絕對值的概念的認識才會更全面、更深刻。總之數學教學應該注重概念教學，使學生清晰地掌握概念，透徹地理解概念，靈活地運用概念，站在數學思想方法的高度上把握概念，形成數學能力。

作者簡介：

馬小蕓，錢鑫，甘肅省平涼市，平涼市廣成學校。