月球天梯系統模型建立和太空艙運動的能耗計算★

宋海藍， 蔣婷婷， 周 莉， 陳佳豪， 田忠健

（重慶大學機械工程學院， 重慶 400044）

引言

1895年，俄羅斯科學家首次提出太空電梯的概念：使用一根繩子連接地球和航天器，人們乘坐太空電梯沿繩子上下穿梭。在引力和向心加速度的相互作用下，繩子被繃緊，太空梯將利用太陽能或激光能沿繩子上下運動[1]。1991年人類便發明了可以使太空梯這一夢想成為可能的纜繩材料——碳納米管。碳納米管材料的密度只有鋼鐵材料的1/6到1/7，其拉伸強度卻是同單位質量上鋼鐵材料抗拉強度的200～300倍。碳納米管長徑比可達1 000∶1以上，是一種即使做成長達幾十萬公里的繩子都不會被自身重量拉斷的神奇材料。2003年，美國企業家邁克爾·萊恩成立了LiftPort公司，該公司投入巨資研究的地球天梯計劃受到了美國宇航局的高度重視。2007年，因該計劃中纜繩的制造成本過高而導致該公司陷入財政危機。2010年8月12日，在美國華盛頓召開的“國際天梯大會”上，邁克爾·萊恩表示由于月球引力僅是地球引力的1/6，如果把天梯工作重心轉向月球天梯，纜繩強度的要求可以得到大大的降低，可實現性強。近年來，各國對進行月球探索的研究工作開展得如火如荼，月球天梯的建造自然吸引了各國的關注，我國清華大學的魏飛教授就致力于天梯材料碳納米管的研究，其團隊成功制備出長達半米以上的碳納米管更是打破了當時的世界紀錄[2]。但是目前中國國內對于月球天梯研究的公開文獻少之又少，對于太空艙的運動方式和天梯的供能形式更是一筆帶過。

1 月球天梯系統模型的建立

目前地球天梯的設想模型為：將特殊材料制作的纜繩一端固定在地球表面上，另一端連接地球同步軌道上的太空站，在萬有引力和系統繞地球轉動產生的離心加速度的作用下纜繩因張力而繃緊，太空電梯可利用太陽能沿纜繩穿梭于氣球與太空之間[3-4]。根據同步軌道和受力平衡兩個關鍵點，將月球天梯系統中的太空站建在地月連線上的引力平衡點（即地月之間地球對太空站的引力等于月球對太空站引力點），太空站一端和月球赤道上的基站連接，一端和靠近地球的平衡錘連接，通過平衡錘在引力和向心加速度的作用下使纜繩繃緊，從而達到太空站和平衡錘繞月球同步運轉的目的。通過以上分析建立的無太空艙運行時的月球天梯系統模型圖如1所示。

圖1 月球天梯系統模型圖（無太空艙時）

在該模型中，對平衡錘進行受力分析，則

對太空站進行受力分析，則

式中：F1為軌道段纜繩的拉，F2為非軌道段纜繩的拉力，Fa為平衡錘所受萬有引力合力；mp為平衡錘的質量，mz為太空站的質量；r月為月球半徑，T為月球自轉周期，s為太空站距基站的距離，r為平衡錘距基站的距離。

當太空艙在軌道上運行時，當其處于上升加速度階段和下降減速階段時對它進行受力分析，可知太空艙所受的合力向上（取力的方向為沿軌道段指向太空艙為向上）。根據牛頓第三定律可知此時軌道段會受到一個太空艙對它產生向下的拉力。為了避免太空艙運行過程中產生的對軌道向下的拉力改變太空站的位置甚至將太空站拉下來，故在太空站連接基站這一端對軌道段纜繩設有動力裝置，其目的是抗衡太空艙運行過程中對軌道產生的向下拉力，保證月球天梯系統的穩定性。此動力裝置可采用電機加帶傳動結構，繪制出的原理圖如圖2所示。

圖2 動力裝置原理圖

圖2中主動輪軸由電機帶動，帶傳動中的帶以一定的初拉力F0緊套在兩個帶輪上，張緊輪壓在帶的松邊內側并靠近大帶輪[5]。張緊輪與軌道收縮裝置實際為剛性連接的整體，在此稱為張緊裝置。當太空艙對軌道產生向下的拉力時，位于軌道收縮裝置上傳感器感知軌道繩索上的拉力大小，自動控制軌道收縮裝置將軌道收縮相應長度。在軌道被收縮時，帶的松邊被進一步張緊而發生彈性變形，此時對張緊輪和軌道收縮固連成的一個整體受力分析如圖3所示。

圖3 張緊裝置受力分析圖

由圖3可知：

其中：F1為帶松邊拉力，F2為軌道所受拉力，角度θ為松邊張緊后形成角的1/2。通過（3）式可知該裝置可以通過自動調節軌道的長度來改變角度θ的大小，從而達到自動平衡太空艙運行過程中對軌道產生的向下拉力保證月球天梯系統的穩定性的要求。

2 太空艙的運動方式

在物體運動的起點和終點，速度沒有突變，則不存在剛性沖擊；加速度沒有突變，則不存在柔性沖擊。剛性沖擊只適用于低速場合，柔性沖擊存在的運動只能夠適用于中速場合，而在高速場合則應盡量避免柔性沖擊和剛性沖擊[6]。根據地月平衡點上地球對太空站的萬有引力等于月球對太空站的萬有引力，得太空站距基站的距離s=3.668 1×107m。考慮到太空旅游中的乘坐時間的舒適性問題，選擇太空艙運行兩天左右到達太空站，根據公式（4）：

計算出太空艙運動的平均速度為215 m/s，此平均速度為高速運動，則太空艙的運動方式應該選擇無剛性沖擊和柔性沖擊的運動。為使非勻速階段 加速度連續且無突變，這里選擇加速度方式為二次多項式，建立出模型如下：

加速度表示為：

速度表示為：

因為太空艙在軌道上運行時，在上升加速度階段和下降減速階段會對繩子產生向下的拉力（主要由慣性力導致），為了減小這個拉力則應減小加速度的大小，故選擇加速度小但加速時間長的運動方式；太空艙運行時在上升減速階段和下降加速階段不用考慮對繩子產生的拉力，故選擇加速度大但加速時間短的運動方式，考慮到這兩個因素并結合（5）（6）兩式便可得到太空艙運動方程。

為了初步計算出太空艙運動過程中的能耗，暫定太空艙運動過程中的加速度大小和加速時間如下：當太空艙處于上升加速階段和下降減速階段時，結合目前高鐵的運動方式，選擇加速度為0.5 m/s2左右，加速時間為10 min，及t1=600 s；當太空艙處于上升減速階段和下降加速階段時選擇加速度為5 m/s2左右，加速時間為1 min，及t3=60 s。建立相應的等式，便可以求得每個階段的m、n和c的值，得到太空艙的具體運動方式，見下頁表1，其中t2=170 279 s。

3 太空艙的能耗計算

太空艙位于上升加速階段時，對太空艙進行受力分析，得到此階段的牽引力為：

式（7）中：Fy為月球對太空艙的萬有引力，Fd為地球對太空艙的萬有引力，Fg為加速度產生的慣性力，Fx為圓周運動產生的向心力。各力的計算公式如（8）式。

表1 太空艙運動方式參數表

功率表示為：

式中：G為萬有引力常數，取6.672 59×10-11N·m2/kg2；m月是月球質量，取 7.349×1022kg；m地為地球質量，取5.96×1022kg；mc為太空艙質量，取100000 kg；L為地月球心間的距離，384 400 km；r月為月球半徑，1 738.3 km；x為太空艙距基站的距離；T為月球自轉周期，2 360 448 s。根據公式（8）（9）繪制出該階段牽引力和功率圖如圖4所示。

圖4 上升加速階段牽引力和功率曲線

太空艙位于上升勻速階段時，此階段牽引力為：

式中：s1是上升加速階段走的位移，為64500 m。根據式（8）（10）（11）繪制出該階段牽引力和功率曲線，如圖5所示。

太空艙位于上升減速階段時，此階段牽引力為：

式中：s2是上升勻速階段走的位移，36 610 050 m。根據式（8）（12）（13）繪制得到該階段牽引力和功率曲線，如圖6所示。

圖5 上升勻速階段牽引力和功率曲線

圖6 上升減速階段牽引力和功率曲線

太空艙下降階段的運動形式和上升階段相似，采用相同分析方法得到太空艙運動過程中不同階段的最大牽引力、最大功率和能耗值如表2所示。

表2 太空艙運動情況表

根據表2，得到最終總能耗kW·h。

4 太空艙供能方式的選擇

能源是太空艙正常運行的重要保障，在月球天梯系統中，供能方式的選擇有著舉足輕重的地位。目前主要的空間能源供應方式有太陽能供能、激光束供能、化學燃料供能、核燃料供能等[8]。其中：核燃料電池由于系統設備復雜和核裂變技術不好控制而被采用得較少；激光束供能為非接觸供能，但整個運行過程中需要控制非常精準的聚焦，技術難度大；化學燃料供能由于體積大、質量重，其攜帶具有一定的限制，但為目前最為成熟的技術；太陽能電池供電在飛行器和航天器中被采用得比較多，一般設計為空間可展開的太陽能帆板結構。該技術目前處于研發初期，其產生的推力比較小，適合于質量輕一些的小型衛星或者無人航天器供能。

考慮到太空艙運動過程中需要的最大推力Fmax=5.375×105N，從短期上來看，只有傳統的化學燃料供能方式才能提供足夠的推力。結合現有的條件，國內能研發并生產推力為50 t的液氫液氧發動機、推力為120 t的新型煤油液氧發動機[9]，此后開發出滿足太空艙運動需求的化學燃料發動機是具有極大可行性的。但是從長遠來看，太陽能帆供能作為一項不需要攜帶過重燃料的技術，具有功率大、壽命長、質量小、結構簡單、性能可靠等一系列優點，在航天中的研究和設計一直受到各國的重視。目前，太陽帆推進技術已在地球的真空室內取得實驗成功，隨著太陽能帆板在各種航天器包括空間站、衛星、載人飛船上的應用與發展，如果未來能夠克服其產生的推力小的弊端，則在太陽系內的星際間旅行人類將可能主要利用太陽能供能。在此假設下，下面也對太陽能帆的面積進行了簡單的計算。

太陽光照通量I的表達式如下[10]：

其中：I*為1 AU處太陽帆單位面積受到太陽輻射的能量，成為太陽常數，數值取1 367 W/m2；r為星日距離，AU，這里取1（地月距離為36～40萬公里，相對于地日距離1.5億公里在此忽略不計）。

設太空艙太陽能帆板面積為S，能量轉化效率為γ（根據目前技術，取20%），那么太陽能帆板能夠為航天器提供的最大功率P0為：

已知太空艙運行過程中的最大功率Pmax=7.629×107W，則

結合式（14）（15）（16），計算得到所需太陽能帆板的面積為

5 結論

1）在月球天梯系統模型中，當太空艙在軌道上運行時軌道的受力是隨時變化的。當太空艙處于上升加速階段和下降減速階段時，軌道的受力向下，在該力作用下容易導致太空站的位置發生改變，于是需要設立一個動力裝置保持月球系統的穩定性。本文提出的動力裝置的基本原理采用帶傳動，因為需要平衡的力比較大，故該裝置中帶的材料采用和軌道一樣的碳納米管。

2）考慮到乘客乘坐時間的舒適性問題，太空艙在軌道上需要高速運行，故太空艙的運動需要無剛性沖擊和柔性沖擊。本文提出了一種加速度二項式運動方式，該方式中的加速度大小和加速時間可以結合實際情況選取，其限制條件主要是考慮乘坐的舒適性問題和軌道的受力情況。

3）尋找供能方式中本文發現需要解決的最大問題就是推力問題，本文中太空艙運動過程中需要的最大推力Fmax=5.375×105N，目前能穩定達到要求的只有傳統的化學燃料供能方式。未來空間供能技術中太陽帆供能因其具有功率大、壽命長、質量小、可實現性強等特點，目前成為太空供能系統研究的主要發展對象。一旦克服其目前產生的推力小的弊端，則未來會迅速成為太陽系內星際旅游的主要供能方式。

參考文獻

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[5]李良軍.機械設計[M].北京：高等教育出版社，2010.

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