淺談高中數(shù)學(xué)解題方法和策略

張明

一、熟悉化策略

所謂熟悉化策略，就是當(dāng)我們面臨的是一道以前沒有接觸過的陌生題目時(shí)，要設(shè)法把它化為曾經(jīng)解過的或比較熟悉的題目，以便充分利用已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)或解題模式，順利地解出原題。

一般說來，對(duì)于題目的熟悉程度，取決于對(duì)題目自身結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)和理解。從結(jié)構(gòu)上來分析，任何一道解答題，都包含條件和結(jié)論或問題兩個(gè)方面。因此，要把陌生題轉(zhuǎn)化為熟悉題，可以在變換題目的條件、結(jié)論或問題以及它們的聯(lián)系方式上多下功夫。

常用的途徑有：

（一）、充分聯(lián)想回憶基本知識(shí)和題型：

在解決問題之前，我們應(yīng)充分聯(lián)想和回憶與原有問題相同或相似的知識(shí)點(diǎn)和題型，充分利用相似問題中的方式、方法和結(jié)論，從而解決現(xiàn)有的問題。

（二）、全方位、多角度分析題意：

對(duì)于同一道數(shù)學(xué)題，常常可以不同的側(cè)面、不同的角度去認(rèn)識(shí)。因此，根據(jù)自己的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，適時(shí)調(diào)整分析問題的視角，有助于更好地把握題意，找到自己熟悉的解題方向。

（三）恰當(dāng)構(gòu)造輔助元素：

數(shù)學(xué)中，同一素材的題目，常?？梢杂胁煌谋憩F(xiàn)形式；條件與結(jié)論或問題之間，也存在著多種聯(lián)系方式。因此，恰當(dāng)構(gòu)造輔助元素，有助于改變題目的形式，溝通條件與結(jié)論或條件與問題的內(nèi)在聯(lián)系，把陌生題轉(zhuǎn)化為熟悉題。

數(shù)學(xué)解題中，構(gòu)造的輔助元素是多種多樣的，常見的有構(gòu)造圖形點(diǎn)、線、面、體，構(gòu)造算法，構(gòu)造多項(xiàng)式，構(gòu)造方程組，構(gòu)造坐標(biāo)系，構(gòu)造數(shù)列，構(gòu)造行列式，構(gòu)造等價(jià)性命題，構(gòu)造反例，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型等等。

二、簡單化策略

所謂簡單化策略，就是當(dāng)我們面臨的是一道結(jié)構(gòu)復(fù)雜、難以入手的題目時(shí)，要設(shè)法把轉(zhuǎn)化為一道或幾道比較簡單、易于解答的新題，以便通過對(duì)新題的考察，啟迪解題思路，以簡馭繁，解出原題。

簡單化是熟悉化的補(bǔ)充和發(fā)揮。一般說來，我們對(duì)于簡單問題往往比較熟悉或容易熟悉。

因此，在實(shí)際解題時(shí)，這兩種策略常常是結(jié)合在一起進(jìn)行的，只是著眼點(diǎn)有所不同而已。

解題中，實(shí)施簡單化策略的途徑是多方面的，常用的有：尋求中間環(huán)節(jié)，分類考察討論，簡化已知條件，恰當(dāng)分解結(jié)論等。

1、尋求中間環(huán)節(jié)，挖掘隱含條件：

在些結(jié)構(gòu)復(fù)雜的綜合題，就其生成背景而論，大多是由若干比較簡單的基本題，經(jīng)過適當(dāng)組合抽去中間環(huán)節(jié)而構(gòu)成的。

因此，從題目的因果關(guān)系入手，尋求可能的中間環(huán)節(jié)和隱含條件，把原題分解成一組相互聯(lián)系的系列題，是實(shí)現(xiàn)復(fù)雜問題簡單化的一條重要途徑。

2、分類考察討論：

在些數(shù)學(xué)題，解題的復(fù)雜性，主要在于它的條件、結(jié)論或問題包含多種不易識(shí)別的可能情形。對(duì)于這類問題，選擇恰當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，把原題分解成一組并列的簡單題，有助于實(shí)現(xiàn)復(fù)雜問題簡單化。

3、簡單化已知條件：

有些數(shù)學(xué)題，條件比較抽象、復(fù)雜，不太容易入手。這時(shí)，不妨簡化題中某些已知條件，甚至?xí)簳r(shí)撇開不顧，先考慮一個(gè)簡化問題。這樣簡單化了的問題，對(duì)于解答原題，常常能起到穿針引線的作用。

4、恰當(dāng)分解結(jié)論：

有些問題，解題的主要困難，來自結(jié)論的抽象概括，難以直接和條件聯(lián)系起來，這時(shí)，不妨猜想一下，能否把結(jié)論分解為幾個(gè)比較簡單的部分，以便各個(gè)擊破，解出原題。

三、多層次觀察

數(shù)學(xué)觀察力除了在角度方面還需要在層次方面的，那稱之為多層次的觀察。在整個(gè)解題的過程中，學(xué)生不單單只是觀察角度，因?yàn)榻嵌戎皇沁x擇正確的解題途徑的開始，當(dāng)走人這條解題的途徑之后，需要追求的就是層次。數(shù)學(xué)問題是抽象并且復(fù)雜的，高中數(shù)學(xué)通常不是一蹴而就的，它需要多層次的解答，要求觀察者需要透過表面的現(xiàn)象抓住內(nèi)部的本質(zhì)。這個(gè)要求教師在教學(xué)的過程中必須重視學(xué)生的解答過程，不能夠讓學(xué)生只是核對(duì)了答案一致就判斷正確了，在答案正確的層面上，還需要解題的步驟清晰合理，這就是一種層次性的敘述，這種訓(xùn)練有利于學(xué)生在多層次的解題過程中進(jìn)行觀察。

四、類比與猜想策略

對(duì)于更加復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題時(shí)，需要以上兩種的觀察力，也就是把數(shù)學(xué)觀察力形成一種意識(shí)觀念，筆者稱之為解題策略中的意念。在多角度觀察力的深化之后，融人學(xué)生的主觀意識(shí)，那么能夠在腦海之中形成一種多題目多角度的狀態(tài)，那就是稱之為類比。類比的解題策略就是用已經(jīng)掌握的多角度觀察力把以前曾經(jīng)觀察過的事物重新調(diào)動(dòng)出來，形成一種比較對(duì)象，那么就能夠從正在研究的事物中尋找到規(guī)律。

五、直覺觀察力

在高中數(shù)學(xué)的解題策略中，會(huì)用到的就是直覺觀察力。這個(gè)直覺觀察力并不是靠猜想得出的。直覺得有依據(jù)的，有什么依據(jù)呢？有圖證。也就是在解決冪函數(shù)問題時(shí)，我們可以嘗試畫圖，觀察圖中的特點(diǎn)，并且最后觀察到圖像變化的趨勢，得出結(jié)果。這個(gè)直覺觀察力是數(shù)學(xué)觀察力之中最為簡單的，但是它收到的條件制約也是比較多的，至少函數(shù)能夠在坐標(biāo)圖中表示出來，不然就無法實(shí)現(xiàn)直覺觀察的目標(biāo)。

六、枚舉法策略

在遇到陌生的問題時(shí)，不能夠使用類比，同樣也沒有觀察到題目的規(guī)律，這樣應(yīng)該如何做呢？有一種解題策略可以使用，那就是枚舉法。一個(gè)可能存在大量答案的問題，并且沒有尋找到邏輯方法進(jìn)行排除其他的答案時(shí)，大量的答案就是存在不確定性，在這個(gè)階段不得不采用檢驗(yàn)答案的方式去解答。也就是用逐一對(duì)應(yīng)檢驗(yàn)答案，考察可能性答案對(duì)于問題事件的可能情況，在這個(gè)方法中需要做到的是不重復(fù)不遺漏的有限情況。這個(gè)策略要做的就是一一列舉答案，并且加以分析，最終達(dá)到解決整個(gè)問題的目的。

七、講求方法

講述完以上幾種解題策略之后，必須說到的是，這些并不只是簡單地找一個(gè)課時(shí)把這些策略全部傳授給學(xué)生，這些策略需要教師消化，轉(zhuǎn)化成自己的東西，才能夠傳授出去。并且最重要的是，數(shù)學(xué)是一門關(guān)于數(shù)量關(guān)系和空間形勢的語言，它們并不是可以在題海中完成這個(gè)語言教育的，學(xué)生應(yīng)該明白自己書寫的是屬于數(shù)學(xué)的語言，他們看到的是數(shù)學(xué)的語言，而在數(shù)學(xué)語言和母語之間，我們需要轉(zhuǎn)換翻譯，所以信息量非常之大。學(xué)生應(yīng)該主動(dòng)去操控這種語言，得到熟練駕馭的效果。

八、反思中深化

在上面簡述了各個(gè)方面之后，教學(xué)中還需要補(bǔ)充一點(diǎn)，那就是反思。上面的幾個(gè)解題策略并不是攬括所有的解答方式，它只是一個(gè)進(jìn)人高中數(shù)學(xué)的一些基本的策略，還需要學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中不斷地反思、深化、演繹、推導(dǎo)。教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)總結(jié)自己的解題策略和方法，進(jìn)行不斷的自我全面分析和思考，從而深化對(duì)問題的理解，真正掌握解題的本質(zhì)，探索解題的思維和規(guī)律。這樣有助于培養(yǎng)出學(xué)生的思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)能力。反思當(dāng)然也是生活的一個(gè)好習(xí)慣。在課堂上面運(yùn)用的反思手段有很多，譬如課堂上反思、課后反思、單元小結(jié)反思，以及試卷測試后的反思，等等。而在這整個(gè)教學(xué)的過程中，教師應(yīng)該是學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)的組織者、引導(dǎo)者。教師教授學(xué)生學(xué)習(xí)技能和培養(yǎng)能力的方法，調(diào)動(dòng)一切有利于學(xué)生學(xué)習(xí)的教學(xué)資源，設(shè)計(jì)出適合學(xué)生發(fā)展的教學(xué)程序。讓學(xué)生真正地去感受數(shù)學(xué)的樂趣，體驗(yàn)解題的樂趣，嘗試數(shù)學(xué)的觀察，反思問題的策略。這樣才能夠真正讓學(xué)生獲得解題的方法和思維，真正有利于學(xué)生在知識(shí)海洋中獲取新的知識(shí)。

（作者單位：河北省定州市第二中學(xué)）