關于低壓成套開關設備的壽命預測

金建偉

摘要：作為低壓供電系統中的組成部分之一，低壓成套開關設備具有十分重要的作用。不僅要通過其實現對電能的控制與保護，還要經其來對電能進行轉換以分配。當前在對低壓成套開關設備進行維修時多實用計劃維修的方式，即不論其是否有故障現象發生，一旦設備運行時間到達預先設定的周期就要進行停機檢修。雖然這種檢修方式可起到一定的效果，但是由于這種計劃性的檢修并未切實根據實際情況來制定，且針對性也不強，不可避免就會出現不及時維修的現象，并進而導致系統停止運行。因此若假設可對其壽命提前進行預測，并在預測結果的基礎上制定出相應可行的維護與檢修計劃，不僅可以實現對設備的及時維修，還能避免因計劃檢修而帶來的電力系統中斷情況。本文就是在此基礎上從威布爾分布理論出發，結合使用多種方法實現了對設備壽命的提前預測。

關鍵詞：低壓成套開關設備；維護檢修；壽命預測；威布爾分布

引言

低壓成套開關設備在經歷長時間運行后不可避免會出現一些故障問題，如不能提前將故障予以解決，將或導致嚴重后果。因此在低壓電力系統的運轉過程中要做好對低壓成套開關設備的日常維護與檢修工作。

威布爾分布模型自出現以來已經被廣泛應用于多個領域中，并且是當前最主要的壽命分布模型之一。經大量實踐研究表明，威布爾分布在設備中具有極為廣泛的適用性。因此為切實保障電力系統的正常運轉，并降低設備的維護成本，本研究嘗試引入威布爾分布模型，以實現其壽命的預測并由此制定出合理的維修計劃。

一、威布爾分布模型

本研究中的威布爾分布模型主要包括三個參數，即位置參數γ，尺度參數η以及形狀參數β。假設隨機變量為T，當其服從于三參數的威布爾分布時，其概率密度函數f（t）的計算公式即為：

（1）

其中：γ≥0，而η、β均>0。

而累積失效概率函數F（t）的計算公式則為：

（2）

此時T的數學期望E（t）及方差Var（t）的計算公式分別為：

（3）

（4）

其中：г（·）為Gamma函數。

在上述公式中，當γ取值為0時，威布爾分布將為二參數，則此時的f（t）與F（t）的計算公式則分別為：

（5）

（6）

二、威布爾分布的參數估計方法

（一）矩估計法

假設隨機變量為T，當其呈現連續型時其概率密度函數為f（t；θ1，θ2，…，θn），其中，θ1，θ2，…，θn即表示為n個待估計的參數，此時若（T1，T2，…Tn）為來自總體T的樣本，則可假設總體T的前n階矩的計算公式為： （7）

當μι存在且為θ1，θ2，…，θn的函數，其中ι=1，2，…n。樣本的前n階矩Aι的計算公式為： （8）

根據統計學的相關理論知識不得出，樣本矩Aι應當按照一定的概率收斂于相應的總體矩μι。此時若令μι=Aι（9）

則可得出n個含有未知參數θ1，θ2，…，θn的方程，通過對這些方程求解可以得出：

（10）

此時將 作為θi（i=1，2，…，n）的估計值，即為矩估計法。這種方法的本質就是通過使用樣本在各階的矩來對其總體的各階矩進行估計。相關文獻中曾定義威布爾分布的總體階矩μn的計算公式為：

（11）

樣本矩的n階矩An的計算公式為：

（12）

其中ti為樣本的數據取值，并且t0=0.此時若令μn=An，當n=1，2，4，時可得出：

（13）

（14）

（15）

通過以上公式即可得出三參數威布爾分布中的各個參數的估計值 。

（二）相關系數估計法

通過對上述公式（2）進行移項處理可得出：

（16）

對公式（16）取自然對數則：

（17）

此時令

ɑ=β

則可得出：Y=ɑX+b （18）

通過上述處理即可完成對威布爾模型的線性處理，并且從理論上來講，Y與X呈現出嚴格的線性關系。

當假設低壓成套開關設備的壽命數據分別為t1，t2，…tm，使用中位秩公式計算器經驗分布函數，此時當m>20時，中位秩公式為：

（19）

而當m≤20時，其中位秩公式則為：

（20）

進而得出：

此時即可知X與Y的相關系數 的計算公式為：

（21）

即為表示X與Y之間線性相關性的具體統計數據，通常 的取值區間為（-1，1），并且兩者的線性相關性隨著 逐漸趨于1，其程度就越高。

由公式（21）可發現， 為γ得到函數，通過選用適宜的γ使| |得出最大值時所采用的的 即是γ的估計值。在此基礎上還可進一步使用最小二乘法得出β與η的估計值。

（三）灰色估計法

將上述公式（16）進行變形處理后可得出：

（22）

整理后可得出：

（23）

此時若假設c=η ɑ= b=γ

則可得出 （24）

在灰色系統理論中，白化方程與其方程解的時間響應函數分別為

（25）

（26）

通過將公式（24）及（26）對比觀察發現，兩者的形式一致。因此可使用灰色GM（1，1）模型來估計威布爾分布的參數，具體方法如下：

第一，可將設備的壽命按時間先后進行數據排序，即t1，t2，…，tn。

第二，依據數量n的取值來選擇適宜的中位秩公式，并計算出分布函數 。

第三，將上述函數帶入公式 中，就可求解出xi（i=1，2，…，n）。

第四，在序列（ti，xi）基礎上建立灰色微分方程： ，并計算得出a與u這兩個未知參數的值，如下：

（27）

其中，

當求解出a與u時，則可以相應求解出威布爾分布的相關參數值， 。而 =c的可有模型的初值計算得出。

三、可靠性特征量的計算

（一）可靠度

設備的可靠度通常是指設備在約定的時間及條件下可完成預先既定功能的概率情況，在本研究中用R表示，其時間函數則記做R（t），即為可靠度函數。當設備的壽命服從威布爾分布，其故障時間使用隨機變量T表示，其可靠度函數的計算公式為：

（28）

當γ=0時，二參數威布爾分布下的可靠度函數為

（29）

結合公式（2）與公式（28）即可得出R（t）=1-F（t）

通過對上述可靠度函數的公式進行研究后不難看出，設備的使用時間越長，其可靠度會逐步遞減。究其原因則主要是由于隨著設備被使用時間的逐漸增加，其磨損及老化程度也會增加，并進而致使其出現一些故障問題，最終致使其可靠度降低。

（二）失效率函數

設備在任一時刻t的失效率，其實就是指當設備工作到t時刻的瞬間出現失效現象的概率。因此，失效率也是時間t的函數，即失效率函數，通常用λ（t）表示。

根據公式

（30）

當兩邊同時處以Δt，取其趨于0時的極限值即可得出：

（31）

假設設備服從三參數的威布爾分布，則此時的λ（t）計算公式為：

（32）

當γ取值為0時，可得出二參數威布爾分布的失效率函數，其計算公式為：

（33）

由以上λ（t）的計算公式不難看出，當β<1時，隨著設備使用時間的增加，其失效率呈遞減趨勢，這種現象較適用于設備的使用初期，因此其線性表示應為浴盆曲線的早期；而當β=1時，設備的失效率為正常值，這時即為設備的正常試用期，其線性表示應為浴盆曲線的偶然失效期；而當β>1時，隨著設備使用時間的演唱，其失效率也會增加，這種現象適用于設備的后期階段，對應表示為浴盆曲線的耗損失效期。綜上可知，威布爾分布具備更加靈活的特性，并且能更加形象的描述出設備在全壽命周期中的各種變化。上述浴盆曲線及為設備的失效率曲線，如下圖所示。

（三）可靠壽命

當設備的可靠度R減小到一定值，通常0≤R≤1，這一過程所需的時間就被稱為R的可靠壽命，即為tR，兩者之間的關系式為 （34）

當R=0.5時為設備的中位壽命，可表示為t0.5，而當R=exp（-1）時為特征壽命，表示為t0.368.R與tR之間的關系如下圖

四、剩余壽命模型

當假設本研究中的設備的壽命T服從三參數威布爾分布，其概率密度函數f（t）的計算公示為：

（35）

其中：

對比公式（1）與（35）可知：

則其累計失效概率 （36）

其可靠度函數 （37）

當t=ta時，T的期望與方差分別為：

（38）

（39）

當設備處于中位壽命時， （40）

綜合公式（38）～（40）而得出的方程組，進行求解即可得出設備威布爾分布的單個參數的估計值，

假設設備在t時刻時仍可以正常使用，那么從此時直至設備宣告報廢的這段工作時間即可被稱為設備的剩余壽命。通過使用隨機變量T1表示其剩余壽命，則其分布函數則為： （41）

進一步計算可得出： （42）

而由于 （43）

（44）

則綜合公式（42）～（44）可得出：

（45）

綜合公式（37）與（45）即可得出設備的剩余壽命：

（46）

綜上，假設設備使用時間為t，其剩余壽命Tt，則設備剩余壽命的可靠為 （47）

而剩余壽命的概率密度函數則為：

（48）。

結束語

在實際的應用過程中，工作人員即可通過使用此模型并結合設備的實際運行情況來針對制定低壓成套開關設備的維修計劃，不僅可以降低維修成本，還能使維修效率得到最大化提升。

參考文獻

[1]蔚德申，王景芹，王麗. 低壓成套開關設備的全壽命周期成本評估[J]. 燕山大學學報，2017，41（6）：539-544.

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[3]佚名. 基于智能牽引供電系統大數據平臺的供電設備壽命預測研究[J]. 鐵道機車車輛，2018，38（4）：75-78.

（作者單位：中國電力科學研究院有限公司）