淺談“問題導學”在數學概念課教學中的案例探究

鄭賢才

一、問題呈現，尋途解誤

高中數學課程標準中明確指出：“高中數學課程應該返璞歸真，努力揭示數學概念、法則、結論的發生、發展過程和本質.”然而，在數學實踐中，由于種種原因，部分教師對概念的形成過程重視程度不夠.認為數學概念就是一種規定，只要把數學概念給學生交代清楚，再通過舉例辨析，明確概念的外延，就算是對概念認識到位了，學生不能認識到概念的形成過程和本質屬性，在應用數學概念時，只能是死記硬背或套用，導致學生數學思維能力和數學思想方法得不到相應的提高.本文旨在通過典型案例，通過“問題導學”的方法揭示數學概念的形成過程，從而讓學生認識和領會其中的數學思想方法.

二、“問題導學”，案例實踐

（一）形成性概念

形成性概念就是同類事物的共同性、關鍵屬性，可由學生從大量的同類事物的不同例證中發現，從而形成概念.

案例1 三角函數概念

問題1：前面學習了角的概念的推廣，推廣后的角是如何定義的？它和初中所學的角有哪些不同？

意圖：讓學生復習推廣后的角的概念，即角的頂點放在坐標原點，角的始邊與x軸正半軸重合，然后讓角的終邊繞坐標原點旋轉所得到的幾何圖形.角可分為正角、負角和零角，且終邊相同的角可以表示為{β|β=α+k·360°，k∈Z}.

問題2：根據初中所學的銳角三角函數的概念及角的推廣，如果將銳角的頂點放在坐標原點，相鄰的直角的一邊放在x軸的正半軸，那么銳角三角函數中的對邊、鄰邊、斜邊分別對應直角坐標系中的哪些量？用坐標系中的量又是怎樣定義銳角三角函數的？

意圖：將初中所學的銳角三角函數的定義解析化，用坐標系中的坐標表示對應的量，為三角函數的定義推廣做鋪墊.

問題3：在銳角三角函數的定義中，取終邊上任意一點，得到三角函數的值都不變.如果取終邊與單位圓的交點坐標（在直角坐標系中，以坐標原點為圓心，以1為半徑的圓叫單位圓），又是如何簡化三角函數的定義的？

意圖：用單位圓定義三角函數，有利于三角函數定義的進一步推廣.

（二）歸納性概念

歸納性概念是該概念在學生大腦中已經有了直觀的雛形，且只是直觀的感知，還沒有形成完整的數學概念，需要通過數學語言、符號語言準確地完善數學概念.

案例2 函數的單調性

問題1：初中已經學習過一次函數、反比例函數等.請同學們畫出一次函數y=x+1，反比例函數y=1x的圖像，觀察圖像說明圖像從左到右是如何變化的？

意圖：通過圖像，讓學生直觀認識函數是遞增的、遞減的圖像特征.

追問：由描點法畫函數圖像的過程可知，由于自變量的變化才引起函數值的變化，函數圖像從左到右是上升的或是下降的，反映了函數值隨著自變量的變化怎樣變化？

意圖：通過直觀感知函數值隨著自變量x的增大而增大（或減小）的過程.

問題2：在x軸上，從左到右自變量在增大，如何用數學符號反映？

意圖：自變量x取兩個值x1，x2，當x1

問題3：若自變量x在x1，x2處的函數值分別為f（x1）>f（x2），那么自變量在增大，引起函數值在增大（或減小），如何用數學符號表示？

意圖：當x1f（x2））.

（三）演變性概念

演變性概念就是從低維到高維，從低級到高級的演變過程，是在事物發展過程中，由于新問題的出現，而在原有知識的基礎上無法解決的問題，需要引進新的概念.

案例3 復數的引入

問題1：當初，人們為了數數的需要認識了自然數，但在刻畫相反意義或解決諸如3-5這樣的計算時，所產生的矛盾是如何解決的？

意圖：引進了負數，并增加了新的符號“-”，從而把數擴充到整數集.

問題2：有了整數之后，為了解決2÷3的問題，又該怎么辦呢？

意圖：引進分數，還要引進一種新的符號——分數線或除號.

問題3：有了分數以后，數集從整數集擴充到了有理數集，但還有問題無法解決，如等腰直角三角形的直角邊長為1，其斜邊長是多少？又無法解決，怎么辦？

意圖：必須引進新的符號，于是就出現了根號“ ”，將有理數集擴充到實數集.

追問：有理數的四則運算法在新的數集——實數集中能否實用？

意圖：在數集擴充過程中，原來的運算法則仍然適用，為引進新的數集做準備、做鋪墊.

問題4：在實數集中，我們還有無法解決的問題，如x2=-1，那又該怎么解決？

意圖：讓學生自然想到必須引進新的運算、新的符號才能解決這個問題.于是引進新的符號“i”，并規定i2=-1，從而將實數集擴充到復數集.

三、問題導學、總結反思

“問題導學”必須從一些具體的事例、熟悉的知識中探究概念的本質屬性和非本質屬性，將共同的本質屬性歸納、概括出來，形成相應的概念.譬如，三角函數的概念，就是通過初中所學的銳角三角函數的概念，以及學生熟悉的角的概念的推廣，將兩者中共同的本質屬性揭示出來，即銳角的頂點放在坐標原點，始邊即直角三角形中銳角的一條邊與x軸的正半軸重合，相應的鄰邊、對邊便對應角的終邊上一點的橫坐標、縱坐標，這樣對于銳角三角函數的概念就自然地通過角的終邊上一點的坐標這一本質屬性來表示，角的終邊繞坐標原點旋轉時，對邊、鄰邊這些量已經無法體現，由于角的終邊上一點的坐標始終存在，為下一步的三角函數概念的推廣奠定基礎.通過“問題導學”不但讓學生認識到知識的發生、發展的過程，而且對知識共同的本質屬性也有了更加清楚的認識.