聯系數四則運算的證明與聯系數群

張玲 張亞飛 張立舒

【摘要】聯系數是集對分析中的一個重要概念，是研究不確定性的一種新的數學方法.首先，本文介紹了聯系度和聯系數的基本概念及四則運算性質，給出了運算性質的詳細證明過程；其次，在聯系數的四則運算的基礎上，結合群論的知識給出了聯系數群的概念，它是聯系數理論的推廣與延伸.研究結果豐富了聯系數理論，有重要的理論意義.

【關鍵詞】聯系度；聯系數；四則運算；聯系數群

在信息、系統和控制領域中，不確定性一直困擾著人們的工作.趙克勤[1]于1989年提出的集對分析，從兩個集合同（同一）異（差異不確定）反（對立）這個角度研究不確定性，對不確定性加以客觀承認、系統刻畫、具體分析的態度，從而使研究結果更加貼近實際[2].而聯系度是集對分析方法的基石，聯系數是由聯系度的概念引申而來，聯系數用數學的語言給出了一個基于集對分析的重要理論——不確定性系統理論，聯系數是描述“不確定量”的一種有效的數學工具.因此，研究聯系數理論變得十分重要.

群是具有一種代數運算的代數系，它是近世代數中一個比較古老且內容豐富的重要分支，在數學、物理、化學、計算機等自然科學的許多領域都有廣泛的應用.在自動機理論中用到半群與群，在信息安全與編碼理論中也用到群.本文在聯系數理論的基礎上，給出了聯系數群的概念，本文的研究結果豐富了聯系數理論，有重要的理論和實際意義.

一、聯系度、聯系數原理

（一）聯系度的概念

定義1 給定2個集合A和B，并設這2個集合組成集對H=（A，B），在某個具體問題背景（設為W）下，我們對集對H的特性展開分析，共得到N個特性，其中，有S個為集對H中的兩個集合A和B所共同具有；在P個特性上集合A和B相對立，在其余的F=N-S-P個特性上既不相互對立，又不為這2個集合所共同具有，則稱比值：

SN為這2個集合在問題W下的同一度，簡稱同一度；

FN為這2個集合在問題W下的差異度，簡稱差異度；

PN為這2個集合在問題W下的對立度，簡稱對立度；

二、聯系數的概念及其運算

聯系數是由聯系度引出來的，它把“數”與“值”聯系起來，用于研究宏觀系統間的確定性與不確定性關系.

（一）聯系數定義

設μ=a+bi+cj，則稱μ為聯系數.其中，a，c為任意實數且符號相同，b為非負實數，b，c分別稱為不確定數和對立數，i是一個不確定量，i∈[-1，1]且需根據問題的具體情況不確定取值，有時i也可僅作為一個不確定量的標記使用，j為對立標記，在定量計算時，可根據實際應用背景規定j取-1或+1之一.

聯系數雖由聯系度的概念引申而來，但與聯系度又有區別，這就是聯系數中a，b，c不再局限在[0，1]這個區間，而可以是任何正數.即對于聯系數a+bi+cj，有約束條件a+b+c=k，k≥1.引進聯系數的目的是為了應用上的方便，但其理論意義則在于拓廣了數的概念.廣泛應用于實踐中的聯系數形式是a+bi.如果有約束條件a+b≥k，a>0，b>0，可以根據需要，把a+bi型聯系數簡寫成a，而不寫出bi這一項，并稱a是聯系數a+bi中的可確定項，或可確定數或定數；bi是聯系數a+bi中的不確定項或不確定數.

由上分析，可初步看出聯系數的意義：

（1）聯系數把可確定數與其所在范圍聯系起來.聯系數與問題背景的范圍有關.例如，0.6這個數，可以與1聯系起來，則可以表示為0.6+0.4i，不同的問題涉及的范圍不一樣，聯系數的表達式也會不同.

（2）聯系數把數與值聯系起來.同一個可確定數與不同的范圍聯系在一起時，事實上會使這個確定數具有不同的值.也就是說，平時說的數值既可以理解為同一個意義，也可以是不同意義的組合，即數與值的組合.

（3）聯系數把宏觀層次上的確定量和微觀層次上的不確定量聯系起來.例如，i=-0.5時，0.6+0.4i=0.4.等式右邊的0.4既是聯系數0.6的表達式0.6+0.4i當i=-0.5時所得結果，也是一個新的聯系數0.4+0.6i的確定項的表達.因此，對于一個聯系數的不確定項來說，從這個“不確定部分”中“拿走”一部分，不一定會使這個不確定項“變小”，相反，有時會“變大”.這說明對聯系數中的不確定項進行處理時，其結果存在分叉現象，即：既可能減少原有的不確定性，也有可能增加原有的不確定性，有可能既沒有增加又沒有減少原有的不確定性.當i=-1時，聯系數a+bi就轉化為a+cj形式.

聯系數的意義不僅在于把一個具體的數與這個數所在的范圍聯系起來，更在于把一個具體的數與它所在范圍內的確定性與不確定性聯系起來，使得一定范圍內的確定性與不確定性的相互聯系、滲透、制約與轉化在數量上得到客觀的反映，從而為研究復雜系統中眾多的不確定性問題提供了新的數學工具.

由聯系數的這些運算性質我們可以按照近世代數里群的定義，給出聯系數群的概念，下面詳細介紹聯系數群的相關內容.

四、結 論

集對分析是一種新的不確定系統理論.其理論特點是把確定性與不確定性作為一個系統來進行處理.聯系數是刻畫不確定性的一個數學工具.該工具以簡潔的數學形式反映出集對分析對不確定性采取的“客觀承認、系統描述、定量刻畫、具體分析”的方法論特點，其處理不確定性問題的優越性越來越受到人們的重視.本文則進一步指出了聯系數的運算規則并首次給出聯系數群的概念.本文的研究豐富了聯系數理論，給后續的研究奠定了基礎，有實際的應用價值.

【參考文獻】

[1]趙克勤.集對分析及其初步應用[M].杭州：浙江科學技術出版社，2000.

[2]信息處理集對分析[M].北京：清華大學出版社，2015.

[3]黃德才，趙克勤，陸耀忠，等.a+bi+cj型聯系數的四則運算及其應用[J].機電工程，2000（3）：81-84.

[4]趙克勤.集對分析對不確定性的描述和處理[J].信息與控制（3）：162-166.