高等代數教學中行列式幾何意義的思考

陳秀梅

【摘要】本文主要通過一些教學實踐探討了怎樣利用行列式的幾何解釋來幫助學生更好地理解行列式.

【關鍵詞】高等代數；行列式；幾何意義

高等代數是數學及理工科各專業的一門重要的基礎課.在高等代數課程中，行列式是一個重要的工具.n階行列式的定義為

其中，τ（j1j2…jn）為排列j1j2…jn的逆序數.一般的教材中都是直接給出n階行列式的這個定義，并沒有說明為什么這樣定義.但是行列式的這個定義從形式上是非常煩瑣的，因而學生也會很疑惑：為什么用這么麻煩的式子定義行列式？怎樣想到這樣定義的？行列式到底是什么東西？筆者在高等代數的教學中發現這個問題在很多學生中都是普遍存在的.結合教學實踐和一些思考，筆者認為要解決這個問題，可以從行列式的幾何意義入手來回答學生的上述一些問題，同時可以使得學生對行列式及其性質以及矩陣的一些性質能夠理解得更加準確和深入.

行列式的幾何意義可以有兩個解釋，一是從靜態的角度，一個是從動態角度.

一、靜態角度

從靜態角度看，n階行列式的幾何意義是以各列為棱的n維立體的有向體積.

由于學生剛剛學完解析幾何，比較熟悉混合積的知識，知道三階行列式可以看作三個三維向量的混合積，從而三階行列式就是以它們的各列為棱的平行六面體即3維立體的有向體積.對于二階行列式，可以在黑板上較容易推導出二階行列式為以各列為鄰邊的平行四邊形的有向面積.有了二階和三階的幾何意義，學生不難接受n階行列式的幾何意義是以各列為棱的n維立體的有向體積的這個看法.

對于一般的n階情形，道理是完全一樣的.這樣學生對于一般的n階行列式的定義的來源就理解得比較清楚，是從它的體積的幾何意義中自然而然地得到的，同時學生對于行列式的性質也都可以從體積的角度來更深刻地理解.

二、動態角度

從動態角度看，方陣可以看作一個線性變換，因而，方陣A的行列式|A|可以看作該線性變換下圖形面積或體積的伸縮率.

只以二階方陣A=[α1，α2]為例.設ε1=[1，0]′，ε2=[0，1]′是R2的標準基，明顯地，若將A看作線性變換，則該變換將ε1=[1，0]′，ε2=[0，1]′變為Aε1=α1，Aε2=α2，從而A將以ε1，ε2為鄰邊的正方形變為以α1，α2為鄰邊的平行四邊形，變換后與變換前的面積之比為|A|.同樣的，R2上任意一個有面積的區域在變換下得到變換后與變換前的面積之比也為|A|，即|A|可以看作該線性變換下圖形面積或體積的伸縮率.

利用這樣一種看法，可以非常容易地從幾何上理解方陣乘積的行列式結論：設A，B都是n階方陣，則|AB|=|A||B|.由于AB看作線性變換是變換A與變換B的合成，因而，總的伸縮率自然就是這兩次變換伸縮率的乘積.

通過教學實踐和學生的反饋表明，學生對于這樣解釋行列式的幾何意義比較容易接受，對于行列式和矩陣及其性質的理解也更加深刻.

【參考文獻】

[1]李尚志.線性代數（數學專業用）[M].北京：高等教育出版社，2006：5.

[2]北京大學幾何與代數教研室.高等代數：第3版[M].北京：高等教育出版社，2008.