研究性課題：歐拉公式的發(fā)現

王國昌

一、教材內容分析

人教版《全日制普通高級中學教科書（試驗修訂本·必修）·數學》第二冊（下А）第九章9.9節(jié)研究性課題：多面體歐拉公式的發(fā)現。本節(jié)采用“研究性學習”的形式，注重強調發(fā)現的過程，有意識的培養(yǎng)學生探究問題的良好習慣，掌握一些研究問題的思想方法，并對提高協(xié)作能力具有重要的作用。

二、教學目標

1.知識目標：識記平面和多面體歐拉公式，了解公式的發(fā)現過程。

2.能力目標：了解數學概念和結論的產生過程，提高發(fā)現、提出、解決數學問題的能力；發(fā)展學生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力；進一步培養(yǎng)學生由特殊到一般的歸納猜想能力和邏輯思維能力以及人際交往協(xié)作能力。

3.情感目標：以平面和多面體歐拉公式的探索為載體，體驗數學研究的過程和創(chuàng)造的激情，體驗數學的簡潔美和內在美，學習歐拉杰出的智慧、孜孜不倦的奮斗精神和嚴謹的科學態(tài)度。

三、教學重難點

1.重點：了解平面和簡單多面體歐拉公式。

2.難點：領會公式發(fā)現過程的思想和方法。

四、學習者特征分析

高二學生已具備一定的數學基礎，如平面幾何的圖形結構和性質，并在學完簡單幾何體之后進行的，對學生的能力層次要求不是太高。

五、教學策略選擇與設計

⑴教材創(chuàng)新：①增加了平面歐拉公式V-E+F=1這一被教材所忽視的平面圖形比長短曲直更本質的屬性的探究；②涉及到圖論（連通圖等）的一些基本概念。

⑵教法設計：主要采用小組合作研究，進行主體式、啟發(fā)式、對比式和直觀演示法等。

⑶學法設計：由淺入深、模型及多媒體演示、分組討論、特殊到一般、觀察歸納等方法。

⑷教學基本形式

教師引導——學生討論——再引導——再討論——歸納總結。

六、教學環(huán)境及資源準備

1.教室或教學研究室。

2.相關幾何模型和多媒體課件演示。

七、教學過程

1.介紹歐拉，引入課題

【教師活動】介紹歐拉：著名數學家歐拉（Euler，1707—1783），瑞士人。在數學家貝努利（Bernoulli）的賞識下開始學習數學，16歲就獲碩士學位，畢生從事數學研究，他的論著幾乎涉及18世紀所有的數學分支。他首先使用f（x）表示函數 ，首先用∑表示連加，首先用i表示虛數單位。在幾何學中首先發(fā)現并證明了歐拉公式。數學中的歐拉方程、歐拉猜想、歐拉定理等有很多，其中一個特例：eiπ+1=0，它將數學里最重要的幾個數字聯系到了一起，兩個超越數：自然對數的底e和圓周率π；兩個單位：虛數單位i和自然數的單位1，以及被稱為人類偉大發(fā)現之一的0。數學家們評價它是“上帝創(chuàng)造的公式”，反映了數學中的奇異美。

【學生活動】1.了解歐拉一生研究數學，對人類作出的巨大貢獻。2.學習歐拉歐拉杰出的智慧、頑強的毅力、孜孜不倦的奮斗精神和崇尚科學道德精神。

【設計意圖】在了解、學習歐拉的基礎上，沿著他的足跡研究幾何圖形中的三要素：點、線、面之間數量關系的歐拉公式。

2.觀察歸納，發(fā)現規(guī)律

（1）預備工作

【教師活動】指導學生分組，達到組間同質、組內異質。

【學生活動】小組分工：選出組長、計時員、記錄員、發(fā)言人。

【設計意圖】體現教師的主導作用和學生的主體作用。

【教師活動】問題：①三角形內角和等于多少？（簡稱180°定理）；②三角形順著一個方向的外角之和等于多少？③凸n邊形內角和公式是什么？順著一個方向的外角之和又如何？

【學生活動】討論：①如何用圖形語言演示或作圖？用字母符號語言證明的思路？②證明用到哪些知識點？ 證明的思想方法有哪些？③凸n邊形內角和公式是什么？順著一個方向的外角之和是多少？

【設計意圖】①一組代表演示，教師動畫總結（附圖一）；二組代表證明，教師補充歸納（動畫一）。

②借助180°定理，平角及互補角概念，：三組代言人證明（附圖二），得出結論360°

③指導四組代表證明，教師總結（附圖三），結論：內、外角和分別為：（n-2）180°、360°。

（2）平面歐拉公式的探索

附表一

圖形編號 頂點數V 面數F 邊數

E

⑴ 3 1 3

⑵ 4 1 4

⑶ 6 1 6

⑷ 7 5 11

⑸ 13 12 24

⑹ 5 1 5

⑺ 6 1 6

平面圖形歐拉公式：V-E+F=1

【教師活動】我們從淺顯易懂的180°定理出發(fā)逐步探究歐拉公式。設平面上封閉圖形中的所有不交的區(qū)域都是多邊形。則分析這類圖形的頂點數V， 邊數E，區(qū)域數（面數）F之間的關系。

【學生活動】 討論：①凸n 邊形的情況（附圖四）；

②將凸n邊形用不交的對角線剖分成若干個三角形（附圖五）；

③平面封閉圖形（圖中所有不交的區(qū)域都是多邊形）（附圖六）；

④連通圖：指從圖中任何一點出發(fā)，沿著邊可到達任何頂點的圖形（附圖七）。

【設計意圖】四組代表填寫附表一，突顯學生的主體作用。

（3）簡單多面體歐拉公式的探索

附表二

圖形編號 頂點數V 面數F 棱數E

⑻ 4 4 6

⑼ 8 6 12

⑽ 8 6 12

⑾ 12 8 18

⑿ 9 8 15

⒀ 6 8 12

⒁ 12 8 18

⒂ 5 5 8

簡單多面體歐拉公式：V+F-E=2

⒃ 12 12 24

⒄ 7 8 12

注：⒃、⒄不符合歐拉公式

【教師活動】依次出示附圖八中{（8）—（13）、（14）—（15）、（16）—（17）}各組圖形或模型，要求學生研究V，E，F之間的關系。

【學生活動】①觀察、分析各組圖形或模型，填寫表格，討論、猜想有什么規(guī)律？②探索、歸納、總結，五組代表填寫附表二。

（4）歐拉的創(chuàng)新思想和方法

【教師活動】歐拉研究多面體的方法：假設它的面是用橡膠薄膜做成的，然后充氣，就會連續(xù)（不破裂，不粘連）變形（拓撲），把它變成了曲面。（充氣動畫演示二）

【學生活動】比較圖八中的圖形。其中哪些多面體的表面能夠連續(xù)（不破裂，不粘連）變形，最后其表面可變成一個球面？環(huán)面？兩個對接球面？

【設計意圖】①除圖八（16）會變成一個環(huán)面，圖八（17）會變成兩個相切的球面外，其余的都變成球面。

②任何創(chuàng)新成果的產生都是以觀念的創(chuàng)新和方法的創(chuàng)新為前提的。

八、課堂小結

1.有關定義：

定義⑴.多面體 （Polyhedron）以及面（Face）、棱（Edge）、頂點（V ）。

定義⑵.連通圖是指從圖中任何一點出發(fā)，沿著邊可到達任何頂點的的圖形。

定義⑶.表面經過連續(xù)變形能變?yōu)橐粋€球面的多面體叫簡單多面體。

2.歐拉公式

⑴.平面圖形（連通圖）的歐拉公式：V-E+F=1； ⑵.簡單多面體的歐拉公式：V-E +F =2。

3、 歐拉的創(chuàng)新思想和方法

九、布置作業(yè) 預習歐拉公式的證明及應用。

十、評價形式（以指導、鼓勵性評價為主）

組內評價：參與度、態(tài)度、積極性等。組間互評：思路、表述、方法等。

教師總結性評價：分工、表格設計、多元評價是否到位等。

十一、教學反思

教學中注意的問題：教師引導而不包辦探究過程，注重強調發(fā)現的過程，通過分組討論，逐步培養(yǎng)學生觀察分析、由特殊到一般、歸納猜想的數學思想方法，并提高合作、探究的能力。