教材：人教版初中數學 八年級（上）課題：13.4最短路徑問題

唐希

一、教學內容解析

最短路徑問題是生活中常見的實際問題，又是初中數學中的一種重要題型。因此，引導學生運用所學知識解決最短路徑問題，體現了數學學習與社會生活的密切聯系，強調了數學來源于生活，服務于生活的新課程理念。隨著新一輪基礎教育改革的推進，以數學課題學習為載體進行數學實踐活動教學便順理成章的成為培養學生創新意識和實踐能力的重要方式之一。

本課就以課題學習中的“最短路徑問題”，引導學生以“兩點之間線段最短”“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”為知識基礎，結合法國數學家笛卡爾的名言“一切問題都可以轉化為數學問題”，借助軸對稱、平移等全等變換方法進行研究，讓學生親歷將實際問題抽象成數學模型，并進行解釋與應用，培養學生的轉化意識，使學生對數學理解的同時，獲得成功的體驗和克服困難的經歷。

本節課主要內容包括最短路徑問題中基本類型的建立，將軍飲馬問題的轉化，最值問題的遷移。

二、教學目標設置

會將實際問題中的地點、河（湖）岸等抽象為數學中的“點”“線”，把實際問題抽象為數學問題，體會實際生活和數學之間的密切聯系。

體驗利用軸對稱和平移全等變換的方法來解決最短路徑問題，通過觀察、操作、歸納等一系列過程，培養學生的實際動手能力，以此激發學生學習數學的興趣，培養學生探究科學的熱情。

理解把求最短路徑的實際問題轉化成數學中的線段和最小問題，再利用軸對稱等線段變換將線段和最小問題轉化為“兩點之間，線段最短”問題，進而把最短路徑的實際問題遷移到數學學習中的求解最值的題型中來。

三、重點與難點

重點：理解軸對稱把“將軍飲馬問題”轉化為最短路徑中的“基本類型”，實現等線段變換的實質；

難點：把解決最短路徑問題的實際遷移到數學中的最值題型中。

四、教學問題診斷分析

從學生學習的情況來看，最短路徑問題，學生比較陌生，對題目的理解難度比較大。很多同學能理解找對稱點的目的是使“將軍飲馬問題”轉化為“基本類型”，但沒有理解找到對稱點后，實質上也是把最短路徑問題轉化為對稱點和另一點之間的最短路徑問題，導致仍然有同學即使找到對稱點，也仍然不能順利的找到實現最短路徑的交點。對于最值問題的遷移，有少量同學仍然不能靈活運用最短路徑來解決，這是最短路徑問題應用到數學問題中的一個難點，對于初中生來說，理解是需要一些時間的。

五、教學策略分析

第一，創設問題情境，從名人名言出發，結合身邊的簡單實例，設計旅游景點為背景，把每一種類型的問題都設計在景點中，激發同學們的興趣；

第二， 學生適度模仿，找相似題型進行類比，自己動手方能熟知最短路徑的作圖方法；

第三，學生比較兩種最短路徑問題的區別；引導類比思考，讓學生將已學習過的知識與這一新知之間建立聯系；

第四，運用軸對稱的性質及“兩點之間，線段最短”的公理，將所求線段之和轉化為一條線段的長，是解決距離之和最小問題的本質轉移.

在本節課的教學中，主要以問題引領過程，通過教師引導、學生提問、師生交流、學生合作舉例的方式，從總體上認識新知識與原有知識的聯系，在過程中感受學習新知識、解決新問題的方法.

六、教學過程

1. 創設情境 引入課題

【引用名人名言】 數學家笛卡爾的名言：“一切問題都可以轉化為數學問題”。

設計我校簡單的平面地圖，如果從教學樓到圖書館，有幾條線路可走？最短的線路是哪一條？選擇的依據是“兩點之間，線段最短”。從而得出我們在解決實際問題時，很自然的運用了笛卡爾的名言啟發；由“線段最短”得出這節課的主題——最短路徑問題。

2.設計情景 得出基本類型

【情景1】 下圖是停車場和售票廳的相對位置，為了在旅游高峰期盡快到達售票廳排隊買票，你們會在人行小路的哪個位置橫過小路使得所走的路程最短？

[設計意圖] 設計旅游景點作為背景，激發同學們興趣和求知欲，要想快速到達售票廳，則需要將實際問題轉化為數學問題. 然后繼續追問如何轉化，突出轉化過程中正確建立模型的重要性.

3. 設計情景 得出將軍飲馬問題

【情景2】 如圖，鴛鴦湖的河岸1 處的旅游船先前往河岸2 的渡口接游客，然后將游客送往小島上游覽，請問工作人員把渡口設定在河岸2的何處，使得其路徑最短，才能達到節約成本的目的。

[設計意圖] 把歷史上有名的將軍飲馬問題設計到旅游景點的娛樂項目里，激發同學們的學習興趣和求知欲。并且點出“這可不像基本類型那么簡單了哦！”引導學生把這種類型轉化為基本類型的思維方向，突出本節課的重點。

【師生互動】 回顧軸對稱的性質，總結全等變換的方法除了軸對稱，還有平移和翻折，為后續“造橋選址問題”的解決做鋪墊.

【問題】 為什么我們通過這種方法找到的C點就一定是最短的呢？你能以理服人嗎？

[設計意圖] 引導學生要以理服人，并非憑空想象或機緣巧合得到的。凡事都得有個憑據才能說服他人。

4.設計情景 運用新知

5.知識遷移 最值題型

6.課堂小結 變式提升

七、教學設計說明

本節課是“最短路徑問題”的第一課時，除了要介紹本課學習內容、目的和重要性以外，還得為下一節課“造橋選址問題”打基礎、埋伏筆. 課程設計要符合學生認知規律。

本堂課從實際問題到數學問題的建模思想，再到“基本類型”的得出，然后到“將軍飲馬問題”與“基本類型”的類比、轉化思想，各個環節都很關鍵，也很重要。 教師通過設置問題串的形式，激起學生層層遞進的求知欲。最終順理成章的把“最短路徑問題”與“最值問題”聯系起來，使同學們過渡的自然，掌握的游刃有余。

在課堂教學中，應充分引導學生進行討論、互相評判、探究等活動，不輕易打斷學生的思維和活動，提供學生充分展示思維的機會。