工科大學生現代數學思想的培養

吳煥春 李麗華

摘 要：本文介紹了部分工科大學生數學課程學習的現狀，提出了現代數學思想培養的思路。結合具體教學實踐，對工科大學生現代數學思想培養的內容和方法進行了探討。

關鍵詞：工科大學生；現代數學；數學思想

數學是其他自然科學和社會科學的基礎。特別隨著現代數學的迅速發展以及人類社會進入了知識日新月異的發展歷程，數學方法已經廣泛應用到物理學，經濟學，系統科學、數據的分析與處理等研究領域中。人民普遍認識到一門科學只有實現了數學化，才算得上真正嚴謹起來了。在如今的大學里，要培養適應社會發展需要的創新人才，數學思想特別是現代數學思想的培養就變得尤為重要了。2001年，吳劍平在文獻[1]中運用教育學和心理學的觀點和方法，提出了工科大學生數學應用能力培養的一些方法。2003年，張洪斌，楊晉在[2]中提出了工科大學生數學能力培養問題的一些改革方法和應對措施。2007年，常錦才等在[3]中分析了目前大學生數學學習的現狀，并提出了提高大學生數學素養的一些建議和方法。2016年，王宇在[4]中探討了數學和哲學的關系，并給出了發現問題在數學學習中的重要性。

本文力求從目前部分工科大學數學課程設置現狀、現代數學思想體系的探討、我校教學實踐中的嘗試等幾個方面進行研究，探索工科大學生現代數學思想培養的一些方法和途徑。

一、目前部分工科大學數學課程設置現狀

工科大學生的數學課程主要有高等數學、線性代數、概率論與數理統計（電學和控制論專業選修復變函數與積分變換）。具體內容主要是十八世紀以前的數學內容，包括微積分學、向量代數與空間解析幾何、行列式與矩陣理論、古典概率論與數理統計等。這些內容是經典數學的主體內容，在曾經的科學進步與社會發展中發揮過重要作用。但是由于數學理論在十九世紀、二十世紀的迅猛發展，現在數學的內容已經遠遠超出了目前工科大學的課程體系。現在大學生在閱讀自己專業領域的文獻時，有時候遇到的困難不是專業內容的問題，而是由于現代數學知識知之甚少，無法理解或者說很難讀懂其中的數學工具與思想。因此，學生要求了解現代數學基礎知識和思想的愿望越來越強烈了。我們在給我校部分工科專業學生上數學課時，就碰到學生提問：“高等數學課程中的微積分理論是現代微積分理論嗎？”、“線性代數課程中方陣的階數可以達到無窮嗎？”、“線性空間的維數可以取無窮嗎？”。這些問題看似對課本內容的一些疑惑，而實際上是大學生獲取知識的途徑不局限于課本和課堂，已經對現代數學的一些思想方法有了懵懂的認識。這些問題的背后是深厚的現代數學背景，這也要求我們能適當的介紹現代數學的基礎知識與基本思想，引導學生初步了解在專業文獻閱讀中可能遇到的新的數學工具和結果。

二、現代數學的基礎和體系

現代數學內容是以拓撲學、抽象代數和泛函分析為基礎發展起來的豐富多彩的體系。拓撲學是非常重要的數學分支，它主要研究幾何圖形或空間在連續改變形狀后還能保持不變的一些性質（即拓撲性質）（見文獻[5]）。它最早起源于一筆畫問題、七橋問題、地圖著色問題等一系列重要問題的研究。研究方向有點集拓撲、代數拓撲、微分拓撲等。抽象代數也被稱作近世代數，主要研究各種抽象的公理化代數系統的數學學科（見文獻[6]）。其研究的代數結構有群、環、域等。提到抽象代數，自然聯想到一位具有傳奇色彩的天才數學家——Galois。他在20歲左右時就運用群理論（后稱伽羅瓦理論）證明了五次以上之方程式沒有根式解的。泛函分析是20世紀30年代發展起來的一門年輕又充滿活力的學科，它借助分析的方法研究無窮維空間及定義在其上的算子性質（見文獻[7]）。泛函分析以Lebesgue積分（也被稱為現代微積分）為出發點，研究各類拓撲線性空間的幾何性質以及線性或非線性算子的性質。

三、我校教學實踐中的嘗試

我們一直承擔我校工科專業的大學數學教學任務，在教學實踐中我們感到了學生對現代數學知識的渴望。由于目前我校尚未對非數學專業開設現代數學課程，因此我們在保證完成課程教學任務的同時，在課堂教學和課下與學生交流中穿插介紹一些現代數學的基礎知識。在15級電子信息工程和15級農業機械專業的教學過程中，針對學生提出的要求和課程教學實際，在教學工作中介紹了拓撲學和勒貝格積分的發展歷史和基本的概念和思想。特別說明了Riemann積分和Lebesgue積分的建立思想以及方法的不同。在16級電氣工程、16級機械制造等專業的數學課程教學中，我們適當介紹了抽象代數和泛函分析的有關知識。我們介紹了抽象代數主要奠基人之一、天才數學家Galois的傳奇一生。我們還介紹了Hilbert空間的基本理論。作為n維歐式空間的自然推廣，它既繼承了有限維線性空間的一些重要概念（如長度、正交），又展現了無窮維空間的非凡魅力。同學們表現出極大的學習渴望和熱情，通過了解現代數學的基本思想與方法，開闊了大家的視野，也激發了學習的興趣。取得了較好的效果。

致謝：此研究工作得到河北科技師范學院教研項目（編號：JYYB201603）支持。

參考文獻：

[1]吳劍平.對工科大學生數學應用能力培養的思考.淮南工業學院學報（社會科學版），3（2），109-110，2001.

[2]張洪斌，楊晉.工科大學生數學能力培養的認識與思考.中國高教研究，4，88-89，2003.

[3]常錦才，譚佳偉，楊愛民.關于提高工科大學生數學素養的幾點思考，科技信息，27，2，2007。

[4]王宇.工科大學生數學思維的培養.數學學習與研究，21，1，2016.

[5]尤承業.基礎拓撲學講義.北京大學出版社，2003.

[6]張禾瑞.近世代數基礎.高等教育出版社，1998.

[7]程曹宗.應用泛函分析.機械工業出版社，2008.

作者簡介：吳煥春，博士，講師。