橢圓與雙曲線的一個美妙性質及應用

占峰

性質1 過點 的直線 與曲線 相交于A，B兩點，點 ，則

（1）當 時，x軸為 的平分線；

（2）當 ，x軸為 的外角的平分線.

證明：不妨設直線 的斜率存在，其方程為

由 ，消去y 可得

，直線AN，BN關于x軸對稱，由此知：

（1）當 時，x軸為 的平分線（如圖1）；

（2）當 ，x軸為 的外角的平分線（如圖2）.

注：在性質1中，當 時，C表示焦點在x軸上的橢圓；當 時，表示焦點在y軸上的橢圓；當 時，表示一個圓.由此便知有如下的性質2.

性質2 過點 的直線 與曲線 相交于A，B兩點，點 ，則

（1）當 時，y軸為 的平分線；

（2）當 ，y軸為 的外角的平分線.

性質3過點 的直線 與雙曲線 相交于同一支上的A，B兩點，點 ，則

（1）當 時，x軸為 的平分線；

（2）當 時， x軸為 的外角的平分線.

證明：不妨設直線 的斜率存在，其方程為

由 ，消去y 可得

，直線AN，BN關于x軸對稱，由此知：

（1）當 時，x軸為 的平分線（如圖3）；

（2）當 時， x軸為 的外角的平分線（如圖4）.

注：當B，A分別位于雙曲線的左，右支時，則與性質3中的結論相反：

（1）當 時，x軸為 的平分線；

（2）當 時， x軸為 的外角的平分線.

應用

例1 （2015年高考四川理科數學第20題）如圖，橢圓E： 的離心率是 ，過點P（0，1）的動直線 與橢圓相交于A，B兩點，當直線 平行與 軸時，直線 被橢圓E截得的線段長為 .

（1）求橢圓E的方程；

（2）在平面直角坐標系 中，是否存在與點P不同的定點Q，

使得 恒成立？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

解析（1） ；

（2）因為 ，所以當點Q的坐標為 ，由性質2知，y軸為 的平分線，所以 恒成立.

例2 過點 的直線與雙曲線E： 相交于同一支上的A，B兩點，點 .若 干，則直線 的斜率為 .

解 由性質3知，x軸為 的外角的平分線，，過點A，B分別作x軸的垂線，垂足分別為G，H，則 ∽ ，故 （如圖5）

聯立（1），（5）解得 ，代入（3）解得 ，故直線 的斜率

.