探析電場(chǎng)強(qiáng)度的計(jì)算方法

張偉龍

本人就電場(chǎng)強(qiáng)度的求解方法作一探析：

一、電場(chǎng)強(qiáng)度的三公式

1.定義式

2.點(diǎn)電荷的決定式

3.勻強(qiáng)電場(chǎng)中的場(chǎng)強(qiáng)公式

二、電場(chǎng)強(qiáng)度的求解方法

1.常規(guī)方法--直接用公式求解

①定義式求解

②點(diǎn)電荷公式求解

a.單個(gè)點(diǎn)電荷

b.點(diǎn)電荷系共線疊加

c.點(diǎn)電荷系非共線疊加

d.點(diǎn)電荷（系）與外加勻強(qiáng)電場(chǎng)疊加

③勻強(qiáng)電場(chǎng)的公式求解

2.特殊方法

①對(duì)稱關(guān)系法

例，如圖所示，電荷均勻分布在半球面上，在這半球的中心O處電場(chǎng)強(qiáng)度等于E0，兩個(gè)平面通過(guò)同一條直徑，夾角為α（α<π2），從半球中分出這一部分球面，則剩余部分球面上（在“大瓣”上）的電荷（電荷分布不變）在O處的電場(chǎng)強(qiáng)度（ ）

A.E1=E0sinα2cosα2 B.E1=E0sinαcosα C.E1=E0sina2 D.E1=E0cosα2

解析：由于對(duì)稱性，均勻帶電球面在球心處的場(chǎng)強(qiáng)為0，所以上半球面在球心處場(chǎng)強(qiáng)豎直向下（設(shè)帶正電），設(shè)大瓣產(chǎn)生場(chǎng)強(qiáng)為 ，小瓣產(chǎn)生場(chǎng)強(qiáng)為 ，方向如圖， ， 之間的夾角為 ，可得 ，故D正確。

②分割填補(bǔ)法

例，一均勻帶正電的半球殼，球心為O點(diǎn)，AB為其對(duì)稱軸，平面L垂直AB把半球殼一分為二，且左右兩側(cè)球殼的表面積相等，L與AB相交于M點(diǎn)。如果左側(cè)部分在M點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為E1，右側(cè)部分在M點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為E2。（已知一均勻帶電球殼內(nèi)部任一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為零），則（ ）

A.E1>E2 B.E1

解析：補(bǔ)齊與左邊完全相同的均勻帶電半球殼，此時(shí)M點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)為0，這是由于L面的左側(cè)球面與整個(gè)右側(cè)球面產(chǎn)生場(chǎng)強(qiáng)的矢量和，且等大反向，若為圖示的半球殼，很顯然L面的左側(cè)球面在O點(diǎn)產(chǎn)生場(chǎng)強(qiáng)大于L面的右側(cè)球面，即E1>E2，故A正確。

③量綱或特殊值（包括極值）法

例，圖示為一個(gè)內(nèi)、外半徑分別為 和 的圓環(huán)狀均勻帶電平面，其單位面積帶電量為 。取環(huán)面中心 為原點(diǎn)，以垂直于環(huán)面的軸線為 軸。 設(shè)軸上任意點(diǎn) 到 點(diǎn)的的距離為 ， 點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為 。下面給出 的四個(gè)表達(dá)式（式中 為靜電力常量），其中只有一個(gè)是合理的。你可能不會(huì)求解此處的場(chǎng)強(qiáng) ，但是你可以通過(guò)一定的物理分析，對(duì)下列表達(dá)式的合理性做出判斷。根據(jù)你的判斷， 的合理表達(dá)式應(yīng)為（ ）

A. B.

C. D.

解析：當(dāng) 時(shí)，圓環(huán)的帶電量為零，則 軸上的任一點(diǎn) ，排除C、D，由單位關(guān)系知B正確。

④模型法

例，如圖甲中，MN為很大的薄金屬板（可理解為無(wú)限大），金屬板原來(lái)不帶電，在金屬板的右側(cè)，距金屬板距離為d的位置放入一個(gè)帶正電、電荷量為q的點(diǎn)電荷，由于靜電感應(yīng)產(chǎn)生了如圖甲如示的電場(chǎng)分布，P是點(diǎn)電荷右側(cè)與點(diǎn)電荷之間的距離也為d的一個(gè)點(diǎn)，幾位同學(xué)想求出P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小，但發(fā)現(xiàn)很難，幾位同學(xué)經(jīng)過(guò)仔細(xì)研究，從圖乙所示的電場(chǎng)中得到了一些啟示，經(jīng)過(guò)查閱資料他們知道：圖甲所示的電場(chǎng)分布與圖乙中虛線右側(cè)的電場(chǎng)分布是一樣的，圖乙中兩異種點(diǎn)電荷電荷量的大小均為q，它們之間距離為2d，虛線是兩點(diǎn)電荷連線的中垂線，由此他們求出了P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小（k為靜電力常量），其中正確的是（ ）

A.8kq9d2 B.kqd2 C.3kq4d2 D.10kq9d2

解析：因兩等量異種電荷的中垂線上的電勢(shì)和圖甲中MN電勢(shì)相等，且都等于0，所以P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)按照乙模型兩等量異種電荷在P點(diǎn)產(chǎn)生場(chǎng)強(qiáng)，即 ，故A正確。

⑤等效法

例，ab是長(zhǎng)為 的均勻帶電細(xì)桿，P1、P2是位于ab所在直線上的兩點(diǎn)，位置如圖所示。ab上電荷產(chǎn)生的靜電場(chǎng)在P1處的場(chǎng)強(qiáng)大小為E1，在P2處的場(chǎng)強(qiáng)大小為E2。則以下說(shuō)法正確的是（ ）

A.兩處的電場(chǎng)方向相同，E1>E2 B.兩處的電場(chǎng)方向相反，E1>E2

C.兩處的電場(chǎng)方向相同，E1

解析：取關(guān)于 對(duì)稱的右側(cè) ，這兩段在 產(chǎn)生合場(chǎng)強(qiáng)為0，所以整段帶電桿在 產(chǎn)生場(chǎng)強(qiáng)等效于 桿右半段在 產(chǎn)生場(chǎng)強(qiáng)，所以方向向左， 點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)是整段桿所產(chǎn)生的，方向向右，大小E1

⑥轉(zhuǎn)化對(duì)象法

例，圖中接地金屬球A的半徑為R，球外點(diǎn)電荷的電荷量為Q，到球心的距離為r。靜電平衡后感應(yīng)電荷在球心處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為（ ）

解析：靜電平衡下的導(dǎo)體是等勢(shì)體，導(dǎo)體內(nèi)部場(chǎng)強(qiáng)為0， 點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)是點(diǎn)電荷 和感應(yīng)電荷共同疊加的結(jié)果，所以感應(yīng)電荷產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)和點(diǎn)電荷產(chǎn)生場(chǎng)強(qiáng)等大反向，即 。

⑦微元累加法

例，如圖所示，一圓環(huán)上均勻分布著正電荷，x軸垂直于環(huán)面且過(guò)圓心O.下列關(guān)于x軸上的電場(chǎng)強(qiáng)度的說(shuō)法中正確的是（ ）

A.O點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為零

B.O點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度不為零

C.從O點(diǎn)沿x軸正方向，電場(chǎng)強(qiáng)度減小

D.從O點(diǎn)沿x軸正方向，電場(chǎng)強(qiáng)度增大

解析：圓環(huán)微元成微小段 ，可以看作點(diǎn)電荷 在P點(diǎn)產(chǎn)生場(chǎng)強(qiáng)，抵消后只有 方向場(chǎng)強(qiáng)， ，故A正確。

⑧ 圖像法

例，某靜電場(chǎng)沿 方向的電勢(shì)分布如圖所示，則（ ）

A.在 之間存在沿 方向的非勻強(qiáng)電場(chǎng)

B.在 之間存在著沿 方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)

C.在 之間存在著沿 方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)

D.在 之間存在著沿 方向的非勻強(qiáng)電場(chǎng)

解析： 圖像的斜率代表 方向場(chǎng)強(qiáng)的變化，所以 段沿 方向場(chǎng)強(qiáng)為0，又因?yàn)檠仉妶?chǎng)線方向電勢(shì)降低，可知在 之間存在著沿 方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)。故C正確。