運(yùn)用變式教學(xué)發(fā)展學(xué)生思維品質(zhì)

胡曉紅

初中是學(xué)生的學(xué)習(xí)能力以及創(chuàng)新和思維能力培養(yǎng)的關(guān)鍵階段，具有較強(qiáng)的可塑造性。斯托利亞爾說過：數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)是思維活動(dòng)的教學(xué)。因此，開發(fā)初中生的思維潛能，提高思維品質(zhì)，具有十分重大的意義。在新課程改革的背景下，為了達(dá)到這樣的學(xué)習(xí)和教學(xué)效果，變式教學(xué)在數(shù)學(xué)課堂中的應(yīng)用就顯得尤為重要。下面筆者就簡單地談一下在教學(xué)中運(yùn)用變式教學(xué)如何促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展。

一、在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中運(yùn)用變式，發(fā)展學(xué)生能力和思維

在概念學(xué)習(xí)中，利用變式啟發(fā)學(xué)生積極觀察、分析、歸納，培養(yǎng)學(xué)生正確概括的思維能力。從培養(yǎng)學(xué)生思維能力的要求來看，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時(shí)提示其內(nèi)涵與外延，比數(shù)學(xué)概念的定義本身更重要，所以在形成概念的過程中，可以利用變式引導(dǎo)學(xué)生積極參與形成概念的全過程，利用變式讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)不同概念之間的區(qū)別和聯(lián)系。通過多樣化的變式提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析以及概括能力和思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。

1.引入概念時(shí)進(jìn)行變式訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生概括能力

一節(jié)課的教學(xué)效果最終會(huì)如何，新知引入的方法起著關(guān)鍵作用。在數(shù)學(xué)概念引入時(shí)就讓學(xué)生接受變式訓(xùn)練，既可以拉近現(xiàn)實(shí)與概念兩者的距離，也可以讓學(xué)生對(duì)概念的最初印象更加準(zhǔn)確和全面。

例如，在教學(xué)圓周角的定義時(shí)，可先讓學(xué)生觀察一般的圓周角， 然后再把一些變了形的圓周角讓學(xué)生判斷，要求說清原因（如圖1）。

經(jīng)過以上的變式教學(xué)，學(xué)生對(duì)這一概念有了深刻的認(rèn)識(shí)，掌握了圓周角的各種變化，為后續(xù)教學(xué)奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

2.深入理解數(shù)學(xué)概念時(shí)進(jìn)行變式訓(xùn)練，培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性

實(shí)施變式教學(xué)的最佳措施就是將數(shù)學(xué)概念轉(zhuǎn)化延伸為變異空間，以其對(duì)象為主要變式，并通過將擁有統(tǒng)一屬性不同類型的變式進(jìn)行對(duì)比，從而突出該變式的特性。分式方程的增根與無解是分式方程中常見的兩個(gè)概念，而學(xué)生在學(xué)習(xí)分式方程后，常常會(huì)對(duì)這兩個(gè)概念混淆不清，為了讓學(xué)生分清這兩個(gè)概念，上課時(shí)筆者常常采取提問變式的方式進(jìn)行教學(xué)。

例如：當(dāng)a為何值時(shí)，關(guān)于x的方程①會(huì)產(chǎn)生增根？

解：方程兩邊都乘以（x+2）（x-2），得2（x+2）+ax=3（x-2）

整理得（a-1）x=-10 ②

若原分式方程有增根，則x=2或-2是方程②的根.

把x=2或-2代入方程②中，解得，a=-4或6.

變式：若將此題“會(huì)產(chǎn)生增根”改為“無解”，即：

當(dāng)a為何值時(shí)，關(guān)于x的方程①無解？

此時(shí)還要考慮轉(zhuǎn)化后的整式方程（a-1）x=-10本身無解的情況，解法如下：

解：方程兩邊都乘以（x+2）（x-2），得2（x+2）+ax=3（x-2）

整理得（a-1）x=-10 ②

若原方程無解，則有兩種情形：

（1）當(dāng)a-1=0（即a=1）時(shí)，方程②為0x=-10，此方程無解，所以原方程無解。

（2）如果方程②的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程無解。原方程若有增根，增根為x=2或-2，把x=2或-2代入方程②中，求出a=-4或6。

綜上所述，a=1或a=-4或a=6時(shí)，原分式方程無解。

結(jié)論：從上面兩題可以看出分式方程有增根，指的是解分式方程時(shí)，在把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程的變形過程中，方程的兩邊都乘了一個(gè)可能使分母為零的整式，從而擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范圍而產(chǎn)生的未知數(shù)的值；而分式方程無解則是指不論未知數(shù)取何值，都不能使方程兩邊的值相等。它包含兩種情形：一是原方程化去分母后的整式方程無解；二是原方程化去分母后的整式方程有解，但這個(gè)解卻使原方程的分母為0，它是原方程的增根，從而原方程無解。弄清分式方程的增根與無解的區(qū)別和聯(lián)系，能幫助我們提高解分式方程的正確性，對(duì)判斷方程解的情況有一定的指導(dǎo)意義。

二、在揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)中運(yùn)用變式，培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)新性和深刻性

學(xué)生如果對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)知不透徹，就不能揭示問題的本質(zhì)，就會(huì)造成思維的不完整性和模糊性，從而影響思維的發(fā)散創(chuàng)新性和聚合能力。如學(xué)生在解題過程中對(duì)某些解題方法的認(rèn)知只是停留在表面上的理解，沒抓住解題方法的實(shí)質(zhì)，從而造成不能靈活應(yīng)用的情況。

題目（2012年揚(yáng)州中考題）：如圖2，線段AB的長為2，C為AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別以AC、BC為斜邊，在AB的同側(cè)作兩個(gè)等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE長的最小值是 。

在講完這道例題后，筆者對(duì)它進(jìn)行變式：

變式1 如圖3，將原題中的兩個(gè)等腰直角三角形△ACD和△BCE換成等邊三角形，DE的長還存在最小值嗎？如果存在，怎樣求DE長的最小值呢？

方法一：設(shè)AC=x，則CD=x.CE=BC=2-x.

作DH⊥CE于H，則

CH= x，DH= x，HE=CE-CH=2- x.

∴DE2=DH2+HE2= （ x）2+ （2- x）2=3x2-6x+4=3（x-1）2+1

∴當(dāng)x=1時(shí)，DE2取得最小值，DE也取得最小值，最小值為1.

方法二：如圖4，作DF⊥AC于F，EG⊥BC于G，DH⊥EG于H，則DH=FG=AB=1.

又顯然DE≥DH，故DE的最小值為1.

變式2 如圖5，將原題中的兩個(gè)等腰直角三角形△ACD和△BCE換成分別以AC、BC為底的等腰三角形，DE的長還有最小值嗎？怎樣求DE長的最小值呢？

作DF⊥AC于F，EG⊥BC于G，DH⊥EG于H，則

DH=FC= AB=1. 又顯然DE≥DH，

故DE的最小值為1.

一道練習(xí)，如果教師不進(jìn)行深度加工，廣度挖掘，學(xué)生得到的收獲是有限的，解題思維也會(huì)逐步定勢(shì)，再加上講不得法，還會(huì)使學(xué)生產(chǎn)生錯(cuò)誤的思維定勢(shì)，若對(duì)例題的條件、結(jié)論進(jìn)行變化，或改變題目的陳述，將會(huì)產(chǎn)生一種“新情境”，在此情境下進(jìn)行變式訓(xùn)練，則對(duì)學(xué)生準(zhǔn)確掌握知識(shí)與方法，提高變通能力和創(chuàng)造性，促進(jìn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的內(nèi)化是相當(dāng)有益的。

變式教學(xué)蘊(yùn)含《道德經(jīng)》的哲學(xué)思想：“道生一，一生二，二生三，三生萬物?！边@種思想體現(xiàn)事物內(nèi)部各要素以及事物與事物之間互為前提，互為因果，相輔相成的關(guān)系和態(tài)勢(shì)。變式教學(xué)中通過對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的各個(gè)特征維度進(jìn)行變式，彰顯對(duì)知識(shí)本質(zhì)的學(xué)習(xí)掌握，構(gòu)成學(xué)習(xí)者內(nèi)在的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，進(jìn)而對(duì)知識(shí)的體系有一個(gè)系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)。變式教學(xué)可以促使學(xué)生的思維向多層次、多方向發(fā)散，幫助學(xué)生在問題的解答過程中去尋找解類似問題的思路、方法，有意識(shí)地展現(xiàn)教學(xué)過程中教師與學(xué)生數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的過程，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，使其主動(dòng)地參與教學(xué)的全過程，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立分析和解決問題的能力，以及大膽創(chuàng)新、勇于探索的精神，從而真正把學(xué)生能力的培養(yǎng)落到實(shí)處。