六年級上冊數學《圓的面積》教學案例

樊國清

【教學過程】課前三分鐘表演。

師：剛剛，可愛的圓還不知道自己的面積該怎么計算了。這節課就讓我們一起來研究《圓的面積》。

【組一】

生1：下面由我們組的同學給大家匯報圓面積公式的推導過程。

生2和3：把圓平均分成16份，邊剪邊拼。

生4：學生邊解釋邊板書。

生5：這樣轉化利用了以前學過的轉化思想，就是把圓的面積轉化成平行四邊形的面積來求，這個過程中，它們的形狀變了，但是面積不變。

生補充：轉化成的平行四邊形不是標準的平行四邊形，是一個近似的平行四邊形，

因為平行四邊形的底，不是直的，是曲線，所以是一個近似的平行四邊形。

師：大家還有別的方法嗎？

【組二】

生1：我們組拼成的圖形，像一個平行四邊形，更像一個長方形。

生2和3：學生邊剪邊拼。為了數起來方便，我們組在剪的時候就把每個小扇形上

標上數字，這樣拼的時候就不容易弄丟。

生4：學生邊解釋邊板書。

生補充：我覺的你們組這個數字標的很有用，很方便，拼的時候不容易漏了，我們應該像你們學習。

師：剛剛他們組說把圓平均分的份數越多，每一份就越小，拼起來的圖形就越像長方形，是這樣嗎？

師：請看課件，老師先是把圓平均分成了4份，看起來有點像什么圖形？

接著把圓平均分成了8份，看起來有點像什么圖形？

隨后又把圓平均分成了16份，這時，拼起來像什么圖形？

然后又分成了32份，看起來更像一個平行四邊形，同時也接近了長方形。

把圓平均分的份數越多，拼成的圖形越接近長方形。也就是說，把圓平均

分的份數越多，圓就會無限的逼近長方形。這里邊又用到了一種新的思想——

“極限”思想。

師：“極限”思想是魏晉時期的劉徽老爺爺最早提出的，他在《九章算術》中獨創性的提出了“割圓術”，也就是通過圓的內接或外接正多邊形面積來求圓面積的一種方法，也使得劉徽老爺爺成為世界上第一個認識到極限概念的數學家，為我國乃至世界數學史的發展奠定了基礎，他的著作《九章算術》也成為了全世界最寶貴的數學遺產。

【組三】

生1：我們組是把圓的面積轉化成梯形的面積來求的。

生2和3：把圓平均分成32份，拼成一個近似的梯形。學生邊剪邊拼。

生4：學生邊推導，邊板書。

生提問：我不太清楚為什么梯形的上底加下底就等于圓周長的一半？你們能幫我解釋一下嗎？

生5：因為我們是把圓平均分成了16份，也就是把圓的周長平均分成了16份，每

一個小三角形的底就是圓周長的1/16，梯形的上底和下底加起來總共是8個小三角形的底，所以上底加下底的和就是圓周長的8/16，也就是圓周長的1/2，大家明白了嗎？

生補充：我來給大家解釋一下，為什么下底是5個小三角形的底，下面這一行雖然又9個小三角形，但是用到底的只有這5個，這4個只是用到了它們的頂點，它們就相當于是梯形下底上的四個點。

師：這個小組的同學，真是動腦筋的好孩子呀，講解的很細致，很清楚。還能解答大家提出的疑問，真是我們學習的榜樣！ 【組四】

生1：我們組有兩種推導的方法，首先介紹第一種方法。

生2和3：我們是把圓平均分成16份，每一份都可以看做是一個近似的小三角形。

把這些小三角形拼起來，就可以拼成一個近似的大三角形。

生4：三角形的底是由四個小三角形的底構成的，三角形的底是圓周長的1/4，三角形的高是4個半徑，三角形的面積=底x高÷2，可以推導出圓的面積就是πr2 。

生5：把圓平均分成16份，每一份就是一個近似的小三角形，這個小三角形的面積就是整個圓面積的1/16，圓的面積就等于16個小三角形的面積，三角形的底=圓周長的1/16，三角形的高是圓的半徑，可以推導出圓的面積就是πr2 。

生補充：我是把圓剪成了32份來拼的三角形，但是32份就不能拼成三角形，所以，只有16份的時候才能拼成三角形了，32份的時候不能拼成三角形。

生補充：你們的第一種方法，圓的面積就等于三角形的面積，但是第二種方法的時候，圓的面積就不等于這個小三角形的面積呀！

生5：第一種方法是把圓的面積完全轉化成了大三角形的面積來求的，第二種方法

的時候，圓的面積不等于一個小三角形的面積，但是圓的面積就是由這16

個小三角形構成的，所以圓的面積就是小三角形面積的16倍。

生提問：那這個小三角形的底怎么算了？

生5：小三角形是整個圓的1/16，所以，小三角形的底就是圓周長的1/16。

師：這個組的同學真了不起了，想到了兩種方法，但是這兩種方法有著本質的區別，其中第一種是將圓的面積轉化成三角形的面積來求，是我們以前說過的等積變形法。但是第二種方法，是把圓平均分成16等份，取其中的一份來推導圓的面積，這是等積變形嗎？（不是）但是我們仍然可以用這一個小三角形的面積來推導出圓面積的計算公式，這就需要我們大家認真、細致的進行推理。所以，這兩種方法所用到的思想有不一樣的地方。

師：要計算圓的面積，必須知道什么條件呢？

師：這節課我們不僅又一次的利用了轉化及推理的思想，同時又認識了一種新思想——“極限”思想，最終幫助圓，探究出了它的計算公式是S=πr2。希望同學們今后掌握更多的學習數學的方法，為數學史的發展貢獻自己的一份力量。

今天的課就上到這里，下課！