非等間距GM（1,1）模型原始模型的優化

楊澤輝 崔文文

根據非等間距GM（1，1）模型基本理論，以原始序列的觀測值和模擬值的相對誤差平方和最小為條件，基于最小二乘法的計算基本原理，求出待定系數，然后構建非等間距GM（1，1）模型，通過計算模擬精度有所提高。

灰色理論系統是中國學者鄧聚龍先生于1982年創立的一種關于預測和決策的一門學科，主要通過對“部分”已知信息的生成，提取有價值的信息，實現對系統運行行為、演化規律的正確描述和有效監控。灰色系統理論的研究對象是“部分信息已知、部分信息未知”的“小樣本”、“貧信息”不確定性系統，灰色系統理論自鄧聚龍教授創立以來，經過二十多年的發展，現已基本建立起系統分析、評估、建模、預測、決策、控制優化技術于一體的一門新興學科的結構體系，但是灰色系統模型的建立大多基于等間距序列，而實際工作中所得到的原始數據往往是非等間距的序列。文獻闡述了非等間距序列的GM（1，1）模型的建模機理，并在具體的領域得到了廣泛的應用，但是建模精度還比較低，應用受到一定限制。本文研究了非等間距序列的建模機理，提出了一種以原始序列的模擬值和觀測值的相對誤差平方和最小為依據，利用最小二乘法的算法基本原理，計算出待定系數c，然后構建非等間距GM（1，1）模型原始模型的優化模型，實例的計算結果表明該方法具有較高的預測和模擬精度。

1 非等間距序列灰色模型的建立

定義設

序列，若間距

（1）

不為常數，則稱為非等間距序列。為了綜合考慮序列的間距，在對原始序列進行一次累加時，以序列的間距作為乘子，建立非等間距GM（1，1）模型。

定義：設為原始序列，是的一次累加序列當且僅當，并滿足.根據鄧聚龍提出的等間距的一次累加的基理，文獻提出了非等間距的一次累加。

定理設為非負非等間距的光滑序列，，

為的一次累加生成序列，對建立

的白化微分方程為

（2）

它的灰色微分方程應該為：

（3）

其中是在區間上的背景值，為和的均值，即.

設為參數列且

Y=????????，B=

則非等間距GM（1，1）模型的最小二乘法估計參數列滿

足.

2 非等間距GM（1，1）模型原始模型的優化

文獻是運用最小二乘法優化非等間距GM（1，1）模型響應函數，但不能保證原序列的觀測值與模擬值的相對誤差平方和為最小，造成模擬精度和預測精度不盡人意，本文保留待定系數，以原始序列的觀測值與模擬值的相對誤差平方和為依據，引入平均相對誤差平方和為指標函數，然后運用最小二乘法優化原始序列的模擬值和預測值，從而使模擬精度和預測精度都比較高。

設Y，B，， ?如定理1所述，，知白化微分方程為

由微分方程解的性質知，可將白化微分方程的解設為

即

（4）

設為原始序列的觀測值和模擬值的相對誤差平方和

這是一個二次函數，必存在極小值，由二次連續可導函數極小值定理可知，極小值點必， 設，只有當時，，所以，于是，對于嚴格指數而言，此模型模擬沒有理論偏差，只有計算的誤差。

3 應用實例

在灰色系統的研究中，由于信息不完全，不準確，存在誤差較大也是在所難免的，但是怎樣進行減小誤差，提高其精度，優化其數據是這個學科主要的研究方向，在灰色系統的研究中，很多學者單獨的研究了灰色關聯度和灰色模型，而沒有將他們有機的結合起來，怎樣解決這個問題一直是研究灰色系統理論的學者們面臨的一個難題，在這種情況下，本人查閱多種文獻對各個關聯度進行了分析比較，最后選擇了適合于普通數據建模的接近性關聯度。接近性關聯度用于測度序列折線在空間中的接近程度，需要說明的是接近關聯度僅適用于序列的意義、量綱完全相同的情形，當序列的意義、量綱不同時，研究其接近關聯度沒有任何意義。對于長度不同的序列，可采取刪去較長序列之過剩數據，補齊較短序列之不足數據等措施使之化成長度相同的序列，但這樣一般會影響接近關聯度的值。

PG福雷斯研究了許多材料的長壽命對循環下溫度對疲勞強度的影響，這是一個非等間距序列，我們從所給試驗曲線中采集到鈦合金疲勞強度隨溫度變化的數據（表1）。

4 結論

本文基于非等間距GM（1，1）模型研究的基礎上，通過用最小二乘法優化原始數據的模擬序列模型，并通過實例進行說明提高了非等間距GM（1，1）模型的模擬精度和預測精度，進一步拓寬了GM（1，1）模型的使用范圍，該模型對于非等間距序列的擬合和預測具有廣泛的使用價值。文獻由于理由不足，所以其數據缺乏說服性。

（作者單位：黃河交通學院）