基于Matlab的光柵衍射仿真研究

鄭小波 周國慶 張丹妹

摘要：衍射實驗在光學實驗中尤為重要，首先根據惠更斯菲涅耳原理，計算出衍射光強的表達式，使用Matlab軟件，通過調整縫數N、波長λ、光柵常數d這些參數，對衍射光柵的光強分布及譜線特征做了仿真實驗，仿真結果與原有的實驗結果基本保持一致。因此，把仿真模擬作為教學的輔助工具非常有幫助，可以使學生進一步加強對光柵衍射的理解和認識，并掌握其規律和特征，對于研究以衍射光柵為關鍵元件的光譜儀器意義重大。

關鍵詞：Matlab；光學實驗；光柵衍射；仿真

中圖分類號：O43文獻標識碼：A

光在傳播時繞過障礙物邊緣繼續前進的這種現象稱之為光的衍射。衍射系統主要包括光源、衍射屏以及接受屏。衍射光柵是一種光學元件，由一些密集且等間距的平行刻線構成的。對于譜線結構、特性譜線的波長及強度的研究會經常用到它，尤其在物質結構、元素定量分析中應用最多。所以人們對于衍射光柵的譜線特性研究越來越多，并且得到了廣泛的關注，但是對它的研究還不是非常全面。本文根據惠更斯菲涅耳原理，計算出衍射光柵的光強公式，然后使用Matlab軟件，從光波波長、透過光柵總縫數、光柵常數等幾個方面對衍射光柵的光強分布及譜線特征做了仿真實驗，在仿真結果中獲得了光強分布和譜線規律，并與原有的實驗結果基本保持一致，對以衍射光柵為核心元件的光譜儀器的應用研究具有很好的指導意義。

1 光柵衍射理論分析

在對平面光柵衍射進行仿真模擬實驗之前，需要了解其試驗裝置，即圖1。S是光源，它是點光源或者狹縫光源且與紙面垂直。S在透鏡L1的焦平面，幕在物鏡L2的焦平面。由惠更斯菲涅耳原理得到：如果單色平面光波垂直照射于光柵，那么沿θ方向傳播的次光波在P上的合振幅和光強可以表示成：

Ep=∑N1m=0A0eimδsincα=A0sincα1-eiNδ1-eiδ=A0sincαsin（Nδ2）sin（δ2）ei（N-1）δ2（1）

IP=E～pE～p=I0sin2αα2·sin2Nβsin2β（2）

式（1）中，α=πbsinθλ，δ=2πλdsinθ，β=δ2=πdsinθλ=dα/b。式（2）中，sin2αα2源自單縫衍射，也就是單縫衍射因子；sin2Nβsin2β源自縫間干涉，也就是縫間干涉因子。

2 Matlab仿真研究

根據公式（2）可以看出，光柵衍射的光強分布和頻譜特性主要有λ，N，b，d，f，θ0等參數決定，θ0為入射角。本文使用Matlab軟件進行編程，通過各參數值的變化來獲得相應的衍射光強分布。在仿真實驗中，參數初值定為：λ=632.8nm，N=5，b=0.005mm，d=0.02mm，f=100mm，θ0=0；接下來本文將通過改變縫數N、波長λ、光柵常數d這些參數進行光柵衍射條紋、光強分布的研究。

3 仿真結果分析

3.1 縫數N對衍射條紋的影響

光柵衍射實驗過程中，在相鄰兩主極大間存在著暗條紋。當Nβ等于π的整數倍且β不是π的整數倍時，即sin（Nβ）=0，sinβ≠0，則該點是縫間干涉因子的零點。在如下位置時，零點會存在暗條紋，用公式表示為：

β=（k+n/N）π，即sinθ=（k+n/N）（λ/d）（3）

其中，k=0，±1，±2，3，...；n=1，...，N1。根據公式（3）可以看出，在每個兩主極大之間，有（N1）條暗線、（N2）個光強極弱的次級明條紋，但是上述條紋基本看不到。據半角寬度得到：

Δθ=λNdcosθ（4）

當N分別為2和5時，在幕上形成的相對光強分布以及衍射花紋如圖2：

由圖2可以看出：當N改變時，主極大的位置不發生變化，但其寬度隨N增大而變?。幌噜徶鳂O大間存在N1條暗紋、N2條次極大；主極大亮線的半角寬度隨N增大而變小，主極大銳度隨N的增大逐漸變大，衍射圖樣上主極大亮紋變細，相對應的次極大線寬減小，亮度也變弱。

3.2 波長λ對衍射條紋的影響

改變波長λ，衍射光強分布如圖3：

從圖3可以看出：隨著λ不斷變大，衍射條紋主極大位置沒有發生變化，但次極大的位置沿兩邊進行移動，主（次）極大的半角寬度與主（次）極大條紋之間的距離變大，衍射譜線逐漸變寬，銳度越來越不好。

3.3 光柵常數d對衍射條紋的影響

改變光柵常數d，衍射光強分布如圖4：

從圖4觀察到：隨著d的增大，衍射光強主極大半角寬度與主極大條紋之間的距離變?。恢鳂O大的位置向中央亮紋進行靠攏；衍射譜線逐漸變窄，銳度變得越來越好。

4 結語

隨著計算機技術的不斷完善和發展，計算機仿真技術逐漸被人們廣泛使用，現在已經發展成一種重要的技術手段。尤其在光學實驗當中，可以使用計算機仿真技術對光學實驗進行模擬仿真，有利于菲涅耳原理，計算出衍射光強的表達式，然后使用Matlab軟件建立平面光柵衍射的數學模型，并對衍射實驗學生們進一步理解和掌握光學實驗的特征及規律。本文對平面光柵衍射進行了介紹，然后根據惠更斯進行仿真模擬。因此，把仿真模擬作為教學的輔助工具有助于學生進一步加強對光柵衍射的理解和認識，并掌握其規律和特征，對于研究以衍射光柵為關鍵元件的光譜儀器意義重大。

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