不嚴格平行的平板電容器電容的計算

王奕潤 胡珍妮 任文輝

摘要：平行板電容器電容的計算是大家熟知的，但實際上兩板都不會嚴格平行，本文給出三種計算不嚴格平行的平板電容器電容的計算方法。

關鍵詞：電容器；串聯(lián)；并聯(lián)

本文對圖1所示的電容器，兩極板都是邊長為a的正方形金屬平板，兩板不嚴格平行，最小間距為d，夾角為θ，當θ<

方法1：利用電容器并聯(lián)公式計算

如圖2所示，把電容器看作大量與圖面垂直的

細狹條的電容器元并聯(lián)而成的，其中任意電容器

元的電容（注意：θ很小，tanθ≠θ）

dC=ε0dsd'=ε0adxd+xθ

總電容C=∫dC=ε0aθln（1+aθd）

由于ad是常數(shù)，θ很小，則aθd<<1，上式按

麥克勞林級數(shù)展開得C=ε0a2d（1-aθ2d）。

方法2：利用電容器串聯(lián)公式計算

如圖3所示，加上一塊相同的極板，極板1

和極板2構成電容為C的電容器，極板2和

極板3構成電為C的電容器.極板1和極板3

完全平行，構成電容為C′的電容器，由平行板電

容器計算公式得C'=ε0a22d+aθ，C′是由兩個電

容為C的電容器串聯(lián)而成，根據(jù)電容器串聯(lián)的

計算公式，又aθ2d<<1，用麥克勞林級數(shù)

展開可得C=ε0a2d（1-aθ2d）。

方法3：利用電容器定義

設電容器帶電量Q，兩極板電勢差為

U，兩極板延長面交線O軸，如圖4所示，

由靜電場回路定律可知，兩極板近端電場線比遠端密，在離O軸r處場強E=Urθ，則電荷密度為σ=ε0E=ε0Urθ，兩極板電量Q=∫σds=∫r0+ar0ε0Urθ=ε0aUθln（1+aθd）aθd<<1，按麥克勞林級數(shù)展開，根據(jù)電容定義式得C=ε0a2d（1-aθ2d）。

三種解法結果相同。若極板嚴格平行，則θ=0，C=ε0a2d。

參考文獻：

[1]同濟大學數(shù)學系，高等數(shù)學.北京：高等教育出版社，1978：285.

[2]嚴導淦，王曉鷗.大學物理學.北京：機械工業(yè)出版社，2012：184.

作者簡介：王奕潤（1970），女，甘肅天水人，教育碩士，中級，研究方向：物理與高等數(shù)學教學研究，新工科教學研究。