電磁感應(yīng)中的單雙桿模型通法

杜浩天

摘 要：電磁感應(yīng)中單，雙桿模型是高考物理解答題中的一種重要模型。具有題干簡單，思維巧妙，需要綜合運動學(xué)與動力學(xué)，能量關(guān)系的特點。筆者從物理意義出發(fā)，解釋了兩類問題共同的物理背景，采用不同的數(shù)學(xué)方法總結(jié)了這類問題的通用思路與解法

關(guān)鍵詞：電磁感應(yīng)；單桿模型；雙桿模型

電場與磁場在是能量的兩種不同的表現(xiàn)形式，通過觀察電子的微觀運動，在固定的參照系中，可以看到帶電粒子受到洛倫茲力的影響，而當(dāng)導(dǎo)體處于磁場中時，帶電粒子由于運動受限，表現(xiàn)為有序運動，宏觀對外體現(xiàn)為電流，并使導(dǎo)體收到了安培力，通過計算處在磁場中的單一帶電導(dǎo)體，以及一對帶電導(dǎo)體，并進(jìn)行對照分析，可以從一個角度解釋兩種效應(yīng)的聯(lián)系和差別，以及外力與做功及能量的轉(zhuǎn)化形式。實際上，同一個電荷產(chǎn)生的電場相對于靜止和運動的觀察者來說，一個觀察到了靜電場，而另一個觀察到了電磁場。換言之，磁場部分的特性相對于靜止的觀察者是不絕對的，取決于運動的觀察者的相對運動關(guān)系，即磁場也是是一種典型的矢量，參照系的選取對矢量的觀察存在慣性參考系的矢量疊加原則。本文在地球與磁場相對靜止的參考系中進(jìn)行計算與分析，以簡化討論的范疇，突出其物理意義。

本文討論了不同的兩種模型，分為單桿模型與雙桿模型，這里的桿實際上其定義等價為帶電導(dǎo)體，其在磁場中運動切割磁力線，并受電磁感應(yīng)力的影響，運動過程較為復(fù)雜，可以同時從力的角度與能量的角度分析同意物理過程；從力的角度更清楚的觀察分析過程，從功能的角度可以更清楚的計算結(jié)果及穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。

1 單桿模型

在水平桌面上，有電阻大小為R，金屬桿長為L質(zhì)量為m不計電阻，導(dǎo)軌光滑不計電阻，在導(dǎo)軌內(nèi)部有大小為B方向垂直紙面向外的勻強磁場，初始狀態(tài)如圖。現(xiàn)在給金屬桿一個大小V的初速度，使其向右運動，直至停止時。討論如下幾問：

（1）全程發(fā)熱多少？

（2）通過R的電荷量時多少？

（3）通過路程有多長？

①對桿而言，在外力給予一個沖量，獲得一定的初速度后，桿切割磁力線，本身會引起桿內(nèi)的自由電子定向移動，于是正負(fù)電荷向兩端富集，而金屬感在與滑軌形成閉合回路后，富集的過程變成在回路中的電流行為，這個電流讓桿在磁場的影響下形成安培力反過來作用于桿，物理過程是變速運動，宏觀的結(jié)果是桿慢慢減速，逐漸停止。其運動學(xué)過程為：

初始速度為V，加速度為負(fù)極大值；過程中，速度減小，加速度為負(fù)，絕對值減小；終了，速度為零，加速度為零。

其電動勢過程為：

初始瞬時電動勢最大，正比于V，過程中，一方面，隨著放電在電阻上以熱量的形式耗散，電動勢減小；終了，電動勢為零。

其能量過程為：

由于是無外界干預(yù)的保守場，其能量守恒。初始態(tài)，無熱量，具有最大的初速度，即動能，終了，速度為零，則能量體現(xiàn)為系統(tǒng)對外界的散熱。

桿具有大小為V的初速度，故其具有動能Ek=12mV2，最后靜止，由能量守恒定律可知：金屬桿的動能完全轉(zhuǎn)化為了電阻R上的電熱。故全程生熱Q=12mV2。

②對于中間過程而言，可以分解成一個個連續(xù)的暫態(tài)，而對暫態(tài)的分析，其實是在較小的時間尺度上的觀察結(jié)果，其同樣符合電磁學(xué)的基本原理。而時間累計的結(jié)果，就是整個物理過程。這樣類似于時間分割的觀點，也是數(shù)學(xué)中的微分的觀點，即在時間尺度上無窮小量的連續(xù)累加，其數(shù)量上是積分運算的結(jié)果。

④小結(jié)：以上通過分析單桿在磁場中的運動，能量的轉(zhuǎn)化物理過程，以實例解釋了電磁、力、運動、能量的本質(zhì)聯(lián)系和相互影響關(guān)系，從任意一個角度的分析，其物理過程一致，觀察到的結(jié)果不同，是同一物理過程的不同表現(xiàn)形式。在此基礎(chǔ)上，將分析較為復(fù)雜的雙桿場景，其運動過程發(fā)生了關(guān)聯(lián)。

2 雙桿模型

在水平光滑不計電阻的導(dǎo)軌上，放有靜止的兩電阻各為R，的光滑金屬桿。桿A質(zhì)量為m，桿B的質(zhì)量為M，導(dǎo)軌平面內(nèi)有垂直紙面向外的勻強磁場，磁場大小為B。

（1）若給A以水平向右初速度V0，求最終兩導(dǎo)軌的運動速度。

類似地，同樣從運動，電場，能量的角度分析。

其運動學(xué)過程為：

A桿初始速度為V，加速度為負(fù)極大值；過程中，速度減小，加速度為負(fù)，絕對值減小；終了，速度為穩(wěn)態(tài)，加速度為零。

B桿初始速度為0，加速度為正極大值；過程中，速度增大，加速度逐漸減小，；終了，速度為穩(wěn)態(tài)，加速度為零。

其電動勢過程為：

A桿初始瞬時電動勢最大，正比于V，過程中隨著放電在電阻上以熱量的形式耗散，電動勢減小；終了，電動勢為零。

根據(jù)回路性質(zhì)，回路總壓降為0，因此B桿初始瞬時電動勢最大，方向與A相反，即A、B兩桿受到的安培力大小相等，方向相反；

其能量過程為：

由于是無外界干預(yù)的保守場，其能量守恒。初始態(tài)，無熱量，具有最大的初速度，即動能，終了，速度為零，則能量體現(xiàn)為系統(tǒng)對外界的散熱。

最終，A的能量由最大動能，轉(zhuǎn)化為AB的穩(wěn)態(tài)動能，以及熱量耗散。

3 結(jié)論

通過分析處在磁場中的運動的導(dǎo)體的物理過程，結(jié)合了電磁感應(yīng)定律，歐姆定律，安培力，能量守恒定律，可以看出，速度，電能，熱能，力，場，都是不同的表現(xiàn)形式，其本質(zhì)僅在于觀察的角度差異，由于其內(nèi)在的統(tǒng)一性，分析物理過程實際上具備很大的靈活性，無論從任何一個角度去觀察，符合物理規(guī)律的觀察結(jié)果都是合理的。除了本文方法，通過其他滿足電磁學(xué)基本規(guī)律的方法，都可以用來解釋復(fù)雜的電磁學(xué)綜合問題的物理過程，即電場，磁場，動能，都只是能量不同的外在表現(xiàn)形式，其本質(zhì)上是統(tǒng)一的。

參考文獻(xiàn)：

[1]張三慧.從功能定理到熱力學(xué)第一定律到普遍的能量守恒定律[J].物理通報，2002（12）：5-7.

[2]費恩曼，萊頓，桑茲.費恩曼物理學(xué)講義[M].上海科學(xué)技術(shù)出版社，2015.

[3]陳燊年.穩(wěn)恒電流中能量守恒與轉(zhuǎn)化定律的普遍形式[J].大學(xué)物理，1984，1（12）：25-28.

[4]梁鐵崢.從“場”的方法論證穩(wěn)恒電路電場、分布和能量傳輸過程——電磁學(xué)“場路關(guān)系”討論之一[J].內(nèi)蒙古大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，1980（1）：73-78.

[5]沈瑞蓮，李秀林.電磁場與電路的內(nèi)在聯(lián)系[J].杭州師范大學(xué)學(xué)報：社會科學(xué)版，1999（S1）：172-173.

[6]羅維治，朱久運.電磁感應(yīng)中的“佯謬”與電磁感應(yīng)定律的表述[J].大學(xué)物理，1982，1（2）：20.

[7]趙凱華.電磁感應(yīng)定律的通量表達(dá)式[J].大學(xué)物理，2001，20（2）：1.