小學階段工程問題解題方法與策略的分類和整理

屈青

【摘 要】工程問題是應用題中的一種類型，相對變化較少，如果能將較少的變化內容都掌握，那么面對工程問題時就能做到事半功倍。

【關鍵詞】工程問題 分工合作問題 輪流合作

工程問題是分數應用題中的一個分支。在解決問題時，我們總會遇到甲乙丙這三個人，一般會告訴我們甲單獨完成這項工程要多長時間，還有乙和丙單獨完成這項工程要時間。然后問其中2人或3人合作完成需要的時間，亦或是說誰先做幾天，剩下的由某某去完成，還需要多少時間才能完成。這就是典型的工程問題。解決這類問題，其實只要理清三個量（工作總量、工作時間、工作效率）之間的關系就可以了。

它們的數量關系是：工作總量=工作效率×工作時間；工作效率=工作總量÷工作時間；工作時間=工作總量÷工作效率。工程問題是數學運算常考的一種出題類型，相對變化較少。出題方式通常有三種情況：一般工程問題、分工合作問題、輪流合作問題。

一、一般的工程問題

下面來看看幾種常見的工程問題。

1.分工合作問題

（1）一項工程，甲隊單獨做要用20天，乙隊單獨做要用30天。如果兩隊合做，幾天可以做完？一項工程，甲隊單獨做需6天完成，乙隊單獨做需12天完成，丙隊單獨做需18天完成。乙丙兩隊1天完成幾分之幾？5天完成幾分之幾？若甲乙兩隊合做2天，還剩幾分之幾？甲、乙、丙隊合作幾天能完成全部工程？

（2）一項工程，甲隊獨做12天完成全工程，乙隊獨做15天完成全工程。現在甲、乙兩隊合作幾天后甲中途有事請假耽擱了幾天后又回來工作，這樣總共花6天.甲請了幾天假？

分析：解決這道題可以轉化成乙做了6天，余下的甲做了幾天，再算甲比乙少做了幾天，就是乙請假了幾天。

2.交替工作

一項工程，甲隊單獨做要用10天，乙隊單獨做要用20天。如果甲先做一天，然后乙接替甲做一天，再由甲接替乙做一天……兩隊如此交替工作，完成全工程要幾天？

3.稍復雜的工程問題

（1）師徒二人合作生產一批零件，6天可以完成任務。師傅先做5天后，因事外出，由徒弟來接著做3天，共完成任務的，如果每人單獨做這批零件各需多少天？一件工作，甲先做6小時，乙接著做12小時可以完成。甲先做8小時，乙接著做6小時可以完成。如果甲做3小時后乙接著做，還需要多少小時完成？分析：若有乙單獨做需幾小時：6×3+12=30（小時）；甲做3小時候乙接著還需幾小時：30-3×3=21（小時）

（2）加工一批零件，甲乙兩人單獨做所用的時間比是3：5，現在兩人合作，完工時甲完成了這批零件的3/7還多66個，這批零件共多少個？分析：甲、乙兩人單獨做所用的時間比是3：5，因此甲乙的工效比是5：3，所以完工時甲完成了總工程的5/8.

（3）制造一批零件，按計劃36天可以完成它的1/3，實際工作12天后，工作效率提高了20%，那么實際完成這批零件共用多少天？制造一批零件，如果工作效率在原計劃的基礎上提高20%，則工作時間提前5天完成。原來每天加工120個零件。那么這批零件的總任務是多少個？分析：實際工效與計劃工效之比是：1+20%=6/5=6：5，1份時間：5÷（6-5）=5（天），計劃時間：5×6=30（天），零件總數：120×30=3600（個）。

二、工程問題與其他問題的整合

有的情況下，工程問題并不表現在兩個工程隊“修路筑橋，開挖河渠”上，甚至會表現在行程問題、購買物品、生產制造中等等。工程問題不僅是一種題型，更是一種解題方法。也就是說有些其他問題也可以轉化成工程問題來解決。這就是工程問題與其他問題的整合。

1.行程問題與工程問題的整合

（1）甲乙兩地相距500千米，快車5小時走完，慢車10小時走完。兩車同時相對開出幾小時相遇？

（2）甲、乙兩人在A、B兩地同時出發相向而行，甲行完全程需要12分鐘，乙行完全程需要15分鐘，甲乙相遇后，又繼續行駛到終點后立即返回，從出發到第二次相遇需要多少分鐘？

（3）甲、乙兩人都從A地向B地出發，甲行完全程需要12分鐘，乙行完全程需要15分鐘。現在乙先行5分鐘后，甲再出發。甲經過幾分鐘后能追上乙？

（4）甲、乙兩人在A、B兩地同時出發相向而行，甲行完全程需要12分鐘，乙行完全程需要15分鐘，甲、乙兩人在距離中點12米處相遇，A、B兩地相距多少千米？

（5）甲、乙兩人都從A地向B地出發，甲行完全程需要12分鐘，乙行完全程需要15分鐘。甲到達終點后立即返回，經過幾分鐘后兩人相遇？

2.工程問題和按比例分配整合

一項工程，甲、乙兩隊合作20天完成，已知甲、乙兩隊的工作效率之比是4：5，甲隊單獨完成這項工程需要多少天？

3.購買物品和生產加工也可以整合成工程問題

（1）學校有一筆資金，如果只買桌子可以買20張，如果只買椅子可以買60把，一共買可以買多少套？（一張桌子和一把椅子為一套）

（2）有一批布料，全部做成上衣可以做20件，只做褲子可以做60條。這批布料一共可以做多少套？

（3）一批鐵皮，如果只做圓柱的底面可以做60個，如果只做側面可以做30個，一共可以做多少個圓柱？（有蓋）

4.工程問題與比、百分數整合

（1）做一項工程，計劃10小時完成，實踐8小時完成。實際與計劃的時間比是（），實際與計劃的工作效率之比是（）。工作時間縮短了（）%，工作效率提高了（）%。

5.用工程問題解決進水管和出水管的問題

（1）一個水池裝有兩個進水管，甲進水管單獨開放12小時可以把水池注滿，乙進水管單獨開放15小時可以把水池注滿，現在甲乙兩管同時開放幾小時可以把水池注滿？

（2）一個水池裝有兩個水管，甲進水管單獨開放12小時可以把水池注滿，乙出水管單獨開放18小時可以把一水池放干，現在甲乙兩管同時開放幾小時可以把水池注滿？