二階變系數(shù)線性微分方程的解法研究

白慧

眾所周知的是，對(duì)與二階變系數(shù)線性微分方程其一般解析式：

y"+p（x）y'+q（x）y=f（x） ①

基于其定義我們可以知道P（x）、G（x）、F（x）是連續(xù)的，那么方程的解是存在的。但是其可積性也只能是三者處于特定的情況下才能存在。這部分內(nèi)容比較深?yuàn)W，在大部分普通高校微積分的教材中雖然沒(méi)有對(duì)其解法的完整體現(xiàn)，但是學(xué)生們?cè)谧孕虚喿x的時(shí)候很可能會(huì)閱讀到相關(guān)方面的文獻(xiàn)的時(shí)候很可能會(huì)看到相關(guān)的問(wèn)題。因此針對(duì)這種情況我們應(yīng)該積極的尋找其中的相通之處進(jìn)而找為學(xué)生們的更好的理解這些問(wèn)題的重要途徑。

1可積條件

首先在方程①，我們通常所使用的方式是采用變量對(duì)上述的方程進(jìn)行替換，并且一般替換的對(duì)象是可降價(jià)的方程或者是常系數(shù)線性方程。這種方式的制約性就是在選擇使用怎樣的方式來(lái)進(jìn)行替換的時(shí)候必須要看P（x）和Q（x）之間存在怎樣的關(guān)系來(lái)確定。就是在進(jìn)行計(jì)算的過(guò)程中需要受到很多方面的影響，變量的不確定性大大增加了在解方程過(guò)程那種的困難性。

接下來(lái)我們探討方程①可積的重要條件：

P（x）、G（x）、F（x）≠0以及常數(shù)b、c

②

經(jīng)過(guò)變換我們不難看出當(dāng)①中的p（x）和q（x）分解為②時(shí)，即方程：

③

經(jīng)過(guò)雙變化之后不難看出其常系數(shù)線性方程：

④

之后可以再次經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)化得出：

⑤

在對(duì)方程：

⑥

雙變換完成之后：

顯然上述的公式是錯(cuò)誤的。

上述方程①中是的p（x）和q（x），在進(jìn)行分解的過(guò)程中一般都不會(huì)將其分解成②的形式，一般在針對(duì)某些簡(jiǎn)單的情況下，我們可以使用拼湊法的形式；而在比較麻煩的情況下，往往可以使用“分項(xiàng)比較法”的方式來(lái)完成實(shí)現(xiàn)結(jié)題的過(guò)程。基于此，本人認(rèn)為，對(duì)可積方程①的求解，首先是觀察方程①是不是能夠形式簡(jiǎn)單并且便于記憶的方程，若不是再進(jìn)行考慮如②的分解方式，這樣可以為自己的結(jié)題提供一種比較簡(jiǎn)單的并且簡(jiǎn)捷的思路，從而不至于在拼湊的項(xiàng)目中難以找到相應(yīng)G（x）、F（x）以及b、c 的值。

2例題分析

例1：?jiǎn)栴}已知函數(shù) 是二線性齊次方程

xy"-（2x-1）y' +（x-1）y = 0的一個(gè)特解，求原方程的通解.

[分析] 這也是變系數(shù)線性方程問(wèn)題，但跟人上方程的解法不屬于同一種類型。他的題意中已經(jīng)給出了一個(gè)特解，所以用的方法也就并不一樣。

根據(jù)二線性齊次方程[解的結(jié)構(gòu)理論] 可知，只要能求出與 線性無(wú)關(guān)的另一個(gè)特解 ，就可以得到其通解 了。而 與以線性無(wú)關(guān)的特征就是 ，不是常數(shù)。

[解] 設(shè)原微分方程有另一與y線性無(wú)關(guān)的特解口，則可設(shè) 即

= ，將其代入原方程，可得到一個(gè)關(guān)于以K（x）為未知函數(shù)的微分方程（過(guò)程非常簡(jiǎn)單，從略）

xK" + K'= 0.

由于我們只要求出其“一個(gè)”特解，所以從上式中求 時(shí)，可以不必顧及任意常數(shù)，從而可得（過(guò)程很簡(jiǎn)單，從略） K（x）=In |x|，即y2= e* In |x|，所以原方程的通解為

[注] 通常也把這種方法稱為“常數(shù)變易法”

這類問(wèn)題，雖然方法較為簡(jiǎn)單，但是基本運(yùn)算量還是比較大的，如果不冷靜地思考，仔細(xì)地演算，那么還是很容易出錯(cuò)的，為此大家應(yīng)該更加注重對(duì)問(wèn)題的思辨性。

3結(jié)語(yǔ)

綜上所述，經(jīng)過(guò)數(shù)十年我們對(duì)于二階變系數(shù)線性微分方程的研究已經(jīng)有了一個(gè)比較系統(tǒng)的解釋方法，但是在探究問(wèn)題的過(guò)程中還會(huì)存在一定的問(wèn)題有待我們進(jìn)一步的去解決。針對(duì)這些問(wèn)題我們不應(yīng)該采取消極回避的態(tài)度而應(yīng)該積極的尋找其正確的解釋方法，從而為我們的學(xué)生們找到一個(gè)更加正確的解題方向；另外，現(xiàn)階段雖然我們已經(jīng)對(duì)此有了一個(gè)比較成熟的算法，但是隨著科技的發(fā)展和認(rèn)知的提升，也許在未來(lái)的某一天還會(huì)出現(xiàn)更加科學(xué)的算法，因此我們也不能采取保守陳規(guī)的態(tài)度，應(yīng)該積極進(jìn)取。

（作者單位：河套學(xué)院）