求解值域取值范圍的常見途徑

韓興麗

1 通過集合的子集關系解答值域問題

將問題轉化為兩個集合的子集關系是解答值域問題的常見方法之一，如下述例1、2就是該類問題，在例1中： ， ，問題就轉化為：哪一個集合可能是另一個集合的子集問題？因為 ，所以只有B才有可能成為A的子集，故選B；在例2中：求出例2中函數的單調增區間： ，即函數 的單調減區間。將問題轉化為 是上述已求集合的子集關系問題，根據二次函數的性質并結合題意，例2可化為不等式組： 解得.

例1.若 ， ，則正確的是（ ）

A、 存在實數a使

B、存在實數a使

C、存在實數a使 D、不存在實數a使

例2.已知函數 在區間 是增函數，則a的取值范圍是

2 通過函數的定義域和值域解答值域問題

直接確定函數的定義域和值域，或通過函數的定義域和值域來解答其它參數的值域問題也是我們常見的問題，解答該問題有時需要綜合分析能力。如下述的例3：問題（1）是指x取遍所有實數， 恒成立，于是由 時，只有 時符合； 時，只有 且 時符合，從而解出所求答案。問題（2）是指x為何值時， 才能取遍所有正實數，只有 且 時才符合。

例3.已知函數

1.若函數的定義域為R，求實數m 的取值范圍。2.若函數值域為R，求實數m 的取值范圍。

3 利用函數性質解答值域問題

函數的性質反映了函數的實質性問題，利用函數的性質解答數學問題是數學中常用的普遍方法，稱為打開解題大門的金鑰匙之一，所以，解答值域問題也不會離開這把“金鑰匙”。在答值域問題中，有時利用它可直接作答；有時利用它可設想“立新命”作答；有時還可“巧妙構思”作答。如：例4可根據 ，假設 為既奇又單調性函數時，解答便容易得多。所以可先證“函數 既奇又單調減函數”這個新命題后再做解答。

例4.設 ，若 ，且 ，求a的取值范圍。

4 利用分離變量法解答值域問題

一個函數中或方程（含不等式）中有較多的變量時，直接解答較麻煩，需要根據具體情況將變量按類分離在方程（不等式）的兩邊進行解答。

5 利用換元思想解答值域問題

在解數學題時，通過變量代換，變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準問題標準化、復雜問題簡單化，使問題得以容易處理。

例5.已知 ，試求 的取值范圍。

解析：如何運用題設條件，將 轉化成只含一個變量，是解決此問題的關鍵，由 聯想到橢圓的參數方程： ，或將 看作一個整體t，利用數形結合、方程的思想解決都不失為一種好方法：

方法一：令 ，則 ，

方法二 ，則 代入 得： ，因方程有實數根，故 ，

綜合點評：①值域問題含概最值問題，如何求解最值？該文提到的方法適應，所以，本文有意選了求最值的問題。②值域問題是研究數學問題的重要組成部分之一，所以，認真學好值域問題也是學好數學的必須過程。③值域問題的研究仍體現著數學思想方法的重要性，如函數思想、方程觀點、數形結合的思想、化歸轉化的思想仍居首位，特別是函數思想、方程觀點尤其重要，又如在解析幾何中，不管問題的難度如何，都是在尋求a、b、c之間或相關量之間的關系，即方程式（組）或不等式（組），從而解之的所求結論。④值域問題是較廣泛的一個數學問題，它貫穿于高中數學的始終，它具有題型新穎、靈活性強、知識面廣等綜合性較強的特點，本文列舉的幾例，僅為啟發而已。

中學階段，很多試題有稱“換湯不換藥”之方法，意思就是從數學思想方法和數學思維這個高度講的，即很多試題的解法在數學思想方法方面是相同的或相似的，只要你平時能多注意些這方面的積累（但不能刻意去引用），再適當的注重些數學演繹推理能力、數學合情推理能力的提高，數學解題能力會有意想不到的提高。

（作者單位：太原市交通學校）