善用類比方法 構建整體框架

卓斌

此次評優課活動中，13位優秀選手共同執教了“分式”單元教學課。這種課型作為省級比賽課題是第一次，充分體現了主辦者的大膽創意與精心設計。為什么要開設“單元教學課”呢？省教研室副主任董林偉先生認為：一是符合學生的認知規律。人類學習的一般規律為：先進行“前建構”，再到局部的深入研究，然后形成整體認識，最后通過反思形成“后建構”。二是這種課型關注學生的核心素養的形成與關鍵學科能力的培養，把隱藏在顯性數學知識背后的隱性知識挖掘、抽取出來。譬如，這節課要著力解決好三個核心問題：1.為什么要學習分式？2. 學習分式的哪些內容？3.我們如何學習分式內容？

創新帶來了活力與動力，更帶來了別樣的精彩與創意。所有的參賽教師都能夠關注“分式”概念的教學，注重分式知識發生、發展、形成的過程性設計，讓學生感受到學習分式知識的必要性與迫切性；都能夠注重數學問題的設計，揭示分式概念的本質與內涵，體現分式定義的合理性與科學性；都能夠注重數學活動的設計，體現學生數學學習方式的變革，讓學生成為課堂學習的主角；都能夠注重多媒體技術的輔助作用，讓課堂充滿時代氣息，實現了現代教育技術手段與數學課程的有機整合；都能夠注重學習目標的達成，達到預期的教學效果，對新課改的深入實施發揮了良好的示范引領作用。具體的亮點與特色體現在以下幾個方面。

1. 注重創設問題情境，從生活實際或數學內部提出問題，體現學習新知識的必要性。

分式概念的產生大致有兩條途徑：一是從生活實際出發，抽取出一定量的數學式子，然后觀察這種式子的共同特征，再抽取其本質屬性，進而給出“分式”的數學定義。

案例1.列式表示下列問題中的數量：

（1）如果我市人口總數為a人，綠地面積為b平方米， 那么該市人均擁有綠地______________平方米。

（2）有兩塊水稻田，一塊面積為a 公頃，產水稻m千克；另一塊面積為b 公頃，產水稻n千克， 這兩塊水稻田平均每公頃產水稻______________千克。

（3）某市到鹽城220千米，一輛客車從該市開往鹽城速度為x千米/小時，需要______________小時；一輛小轎車也從該市開往鹽城，速度比客車每小時快10千米，則小轎車到達目的地需要______________小時。

在學生列出代數式[ba]，[m+na+b]，[220x]，[220x+10]之后，再引導學生分析這些式子是否熟悉，它們與以往學習過的分數有什么區別，從而體現研究這一類問題的必要性，充分展示了為什么要學習“分式”。

案例2. 開門見山地提出問題：兩個整數相除，結果有哪些形式？兩個整式相除，結果又有哪些形式？

教師引導學生總結：任意兩個整數相除不一定是整數，也可能得到分數。并舉出正分數、負分數、帶分數等這樣的運算結果。兩個整式相除，有可能得到類似于[ba]，[m+na+b]，[220x]，[220x+10]的一些式子。

基于此，分式概念產生的另一種途徑就是從整式四則運算的封閉性出發。整式是分式產生的另一個生長點，整式對于加法、減法、乘法具有封閉性，但是兩個整式相除運算時，會產生一類數學式子不在整式范疇內，很值得研究，從而由數學內部運算的封閉性提出了研究分式的必要性。

2. 注重抽取分式概念的基本要素，讓學生經歷分式概念的建構過程，有利于培養學生的數學抽象概括能力。

在給出幾個分式之后，如何自然合理地、獨立自主地建構分式的概念，成為必須面對的一個難題。其中較好的處理方式之一就是列表對比。

案例3. 請觀察分數與新式子之間的相同點是什么，分子與分母的不同點有哪些，并完成下表。

通過列表不難發現，“新式子”具有以下三個特征：一是具有分數的形式；二是分母中含有字母；三是分子中可以是整數，也可以含有字母。從而學生基本上能夠自主地給出“分式”的定義：

一般地，如果A、B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么代數式[BA]叫作分式。

3. 注重溫故知新，借助類比的方法，構建分式內容的整體框架。

單元教學課的“重頭戲”就是引領學生建構這一章的主要學習內容。解決這一個問題的關鍵點就是找到新知識的生長點與培養基，大多數選手不約而同地想到“分數”。通過引導學生回憶小學階段學習了分數的哪些內容，基本邏輯順序是什么，最終得到“分數”一章的內容框架為：定義——基本性質（約分、通分）——四則運算（加法、減法、乘法、除法）——應用（解分數應用題）。

借助合情推理中的類比方法，從而得到“分式”一章可能的學習內容有：定義——基本性質（約分、通分）——四則運算（加法、減法、乘法、除法）——應用（解分式方程）。

4. 注重設計各類活動，拓展數學學習方式，展示分式內容的學習成效。

在課堂學習中，學生通過數學游戲，動手操作，歸納概括等方式，展示數學思維的本質，以及新授內容的學習成果。

案例4. 按照要求拼一拼，想一想。材料為：全等的長方形紙片若干張。操作方法如下：

（1）1張長方形紙片的面積為bm2，一邊長為am，則另一邊長為__________________ m；

（2）2張長方形紙片的面積為2bm2，一邊長為2am，則另一邊長為_________________m；

（3）3張長方形紙片的面積為3bm2，一邊長為3am，則另一邊長為_________________m；

（4） n張長方形紙片的面積為nbm2，一邊長為nam，則另一邊長為_________________m。

你發現了什么？通過手腦并用，學思結合，學生大都能夠發現“另一邊長”保持不變，即[ba=2b2a=3b3a=nbna]，進而給出分式的基本性質：分式的分子、分母同時乘或除以一個不為0的數，分式的值不變。

案例5. 數學游戲：小組同學到組長處，從口袋中任意抽取兩張卡片，并將抽到的兩張卡片組成分式（分數線可直接使用，不需抽取）。接著，選出兩個分式，在小黑板上進行加、減、乘、除中的任意一種運算，小組內交流運算法則。

通過一系列數學游戲，學生掌握了分式的概念，設計了分式的各種運算，并且借助小組的力量，討論了分式四則運算法則。課堂氣氛活躍、熱烈，生成了很多原生態的成果。

5.注重數學思想方法的滲透，依托類比與轉化，解決了新知識的學習方法問題。

13節課的共性優點就是，都能夠把類比與轉化的數學思想方法貫穿于研究“分式”內容的始終。有的用分數與分式進行類比，有的用整式與分式進行類比，把代數對象的研究經驗進行了合理的遷移，取得了良好的效果。

案例6. 對于方程[100x=160x+3]，這是一個什么方程呢？這個方程你會怎么解？

大多數學生通過回憶七年級學習的“一元一次方程”這章內容，能夠大膽地為這個方程命名“分式方程”。至于如何解方程，有的學生提出了“根據等式性質，去掉分母，轉化為一元一次方程”的構想，既合情合理，又具有創意，展現了活學活用的本領。類似的情景，在分式的通分與約分、分式的四則運算中都有生動的體現，可謂是順理成章，水到渠成。

6. 注重反思與總結，從數學學習的過程與活動中撈足油水，積累了豐富的學習經驗。

“編簍編筐，重在收口”。每位選手都十分重視反思與總結環節。有的教師帶領學生歸納了分式概念的學習框架：為什么要學習這個概念，學習了分式的哪些內容，采用了什么方法來學習，有的教師幫助學生梳理了按照什么樣的思路研究分式這一章知識；有的教師讓學生談一談這一節課的學習收獲及困惑。

當然，課堂教學永遠是一門遺憾的藝術。譬如，有個別教師在情境設計方面不夠合理，或者不夠貼近學生的生活常識，或者選取的實例缺少代表性與普遍性。有個別教師在借班上課的情況下，不能自然地順應學生的思路展開教學，忽視學生本身的認知需求，更多地按照預設的程序進行教學，師生之間互動不夠順暢等。

結合這次課堂教學觀摩活動，給予青年教師三點建議：一是數學教學首先要理解數學。數學教學要理解教材與課程標準，準確把握數學核心概念的內涵與外延。數學是玩概念的，不是玩技巧的，技巧不足道也。二是數學教學要理解學生。理解學生的認知基礎和生活經驗，以此找到學生學習新知識的認知起點，進而找到生長點與發展點。充分預測學生在學習新知識時可能遇到的障礙。三是數學教學要理解教學。要站在學生的立場思考問題，更為重要的是你的學生是如何思考問題的，要努力改進學生的學習方式，促進學生的思維發展。這才是數學教學的品質所在，精髓所在！

（作者單位：江蘇省宿遷市中小學教學研究室）