小學生數學合情推理的教育價值及其內涵剖析

閆龍敏

[摘要]縱觀當今的小學數學課堂，不少數學思維訓練活動淺嘗輒止，因忽視“學生合情推理能力的發展”而缺乏推理教學的可操作性。《義務教育數學課程標準（2011年版）》中提出了發展合情推理能力的培養目標，但在實際教學中，合情推理卻是小學數學的“瓶頸”，合情推理能力的滯緩發展有礙于學生數學能力的全面提高。因此，數學教師應深度解讀合情推理的內涵，明晰合情推理的教育價值，以學生認知基礎為依托、以合情推理過程為抓手、以類比和不完全歸納推理為手段，深度啟發學生的推理思維，使合情推理站在小學數學能力培養的“隊列”中。

[關鍵詞]小學生； 數學能力； 合情推理

[中圖分類號] G420[文獻標識碼] A[文章編號]1005-5843（2018）04-0075-05

[DOI]1013980/jcnkixdjykx201804015新一輪數學課程改革將合情推理作為培養目標呈現在《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》）中。《標準》中指出， “在觀察、實驗、猜想、驗證等活動中，發展合情推理能力，能進行有條理的思考，能比較清楚地表達自己的思考過程與結果”。“推理能力是數學的基本思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理”[1]。經調查發現，數學教師，尤其是大部分小學數學教師，他們對合情推理的涵義一無所知，雖然有些教師知道合情推理，也將合情推理寫在教學目標中，但這種認識僅限于概念的淺層認識和蜻蜓點水式的課堂提問。因此，看似結構完整、條理清晰的目標設定和實施過程，由于缺乏對合情推理本身的準確把握和恰當執行，致使學生的學習結果呈現出令人擔憂的局面，發展合情推理能力的教學目標流于形式。在大力發展學生各項數學技能時期，《標準》中明確提出的合情推理卻被擱置，究其原因，離不開人們對數學推理本身認識的規限性。嚴謹性和邏輯性一直以來都是數學教育的主旋律。從概念表面分析，“合情”與數學一貫秉承的嚴密性相悖，因此，“合情推理”一詞的問世受到教育研究者的否定。他們認為，合情推理只是各種數學推理的大雜燴，本身沒有現實的數學教育意義。然而，不容忽視的是合情推理是響當當地被列入新一輪數學培養目標的，必然有其重要的教育價值。

數學合情推理之所以能被納入《標準》中，意在糾正過去數學推理一貫只重視嚴謹性、邏輯性的局面。一直以來，小學數學教學的邏輯性被僵化或虛化，小學生自身的認知能力不強，發展較強邏輯性的論證推理知識得不到內化，對嚴密邏輯性的推理只是浮于表面的記憶。縱觀各個版本的小學數學教科書或教輔書的教學目標，都是將合情推理能力作為小學生主要發展的數學思維能力，而演繹推理則是更高學段的主要教學目標。本文擬針對研究者對合情推理含義的誤解和教育價值的不確定性，分析合情推理的內涵、教育價值，以及合情推理的推理過程。

一、合情推理的內涵

（一）合情推理的“前世今生”

20世紀80年代初，美籍匈牙利數學教育家G·波利亞撰寫的“Mathematics and Plausible Reasoning”的譯本——《數學與猜想》面世。其中，第一卷“Induction and Analogy in Mathematics”被譯為“數學中的歸納和類比推理”；第二卷“Patterns of Plausible Inference”被譯為“合情推理模式”。也有譯本將 “Mathematics and Plausible Reasoning”譯為“數學與似真推理”，將第二卷譯為“似真推理的模式”[2]，但這種譯法并沒有被流傳下來。至此，“合情推理”一詞在我國開始流傳，但波利亞并沒有明確地界定合情推理的涵義，僅將歸納推理和類比推理作為合情推理的方法進行了分析[3]。

隨著國內外學者對合情推理研究的深入，合情推理的概念、模式都得到了細化的解析。為了能夠幫助數學教師找到以學生認知結構為基點培養數學推理能力的抓手，研究者將推理類型進一步細分。因此，具有嚴謹邏輯性的演繹推理、完全歸納推理被小學數學教學拒之門外，邏輯性較為松散的類比推理和不完全歸納推理得到了小學數學教學的熱烈歡迎，而后又將后者靈活地整合為合情推理。《標準》中對合情推理進行了界定：從已有的事實出發，憑借經驗和直覺，通過歸納和類比等思維方式猜測或推斷出某些結果的過程。

（二）“合情”與“合理”

多數研究者之所以否定合情推理，主要是由于合情推理概念的含糊性，認為合情推理不具有合理性，即合情推理只是符合感性認識的“差不多”或者“可能”的合乎規范。

合情推理的過程必定是合理的。從建構主義的角度來看，合情推理的過程是學生根據已有的知識儲備，在認知觀念的基礎上進行知識重構或者推出新知識的過程，是建構活動的產物，從而都有其一定的合理性。從合情推理的概念可以看出，學生已有的事實確定為正確，歸納就是根據一類事物的部分對象所具有的某種性質，得出這類事物所有對象都具有這種性質的推理；類比就是由一類事物所具有的某種屬性，推測出與其類似的事物也應具有這種屬性。類比和歸納的過程都是有既定學生的已存知識依據的。因此，合情推理的過程根據已有事實來進行是合理的。依據類比和歸納猜想出結論，主要基礎就是已有的經驗事實，因此合情推理的過程是合理的。合情推理的結論是或然的，不是絕對正確的，這與合情推理的合理性表面看起來存在矛盾，實則不然。在波利亞對合情推理的闡述中，將得出命題的“真”與“假”改為“可靠”，就是說經過合情推理得出的結論是可靠的、可信的。不一定為真只是在歸納的過程中還未出現反例或者在類比的過程中還沒有出現屬性的不同個例，但是推理的過程是合理的。因此，綜合合情推理過程和結果分析，合情推理是合理的。

（三）“合情”與“邏輯”

從字面上來看，合情推理中的“合情”總帶著感性的色彩，與數學的嚴密邏輯性相悖。因此，很多學者就會對合情推理的數學邏輯性產生質疑，認為合情推理的邏輯性不強，不能稱其為數學推理，合情推理只是一些推理的大雜燴。筆者認為，這種說法有失偏頗，沒有真正地認識合情推理。

其實，合情推理是有邏輯可循的，但不是完全具有邏輯性的。在整個科學知識體系中，數學是邏輯性最強的一門學科，數學與邏輯總是密不可分地一同發展。當然，數學與邏輯結合的程度并不總是一樣的，有時十分緊密，有時相對松散，合情推理與邏輯結合的程度則是相對的松散[4]。合情推理培養學生發現、猜想的能力，而邏輯思維對數學發現提供必要的啟示和引導，在一定意義上成為數學發展的動力。具體來說，合情推理的過程不是完全憑借經驗或者直覺進行的推理，需要數學知識之間的關聯點進行類比或者歸納。這就需要進行一定邏輯思維的支撐，只有經過邏輯的思考，才能找到已有知識與問題之間的關聯點，從而找到歸納點或類比點。然而，合情推理的過程又不是完全具有邏輯性的，這取決于合情推理的過程中有經驗和直覺的參與。合情推理有依據經驗猜想的環節，此處的經驗不僅僅是已有的數學知識，還有生活的經驗，生活經驗和直覺沒有完全的邏輯思維，是憑借自身的感性認識進行的知識建構，感性因素占有相當重要的地位。因此，合情推理的過程是有邏輯的，但不是完全等同于數學知識與知識之間絕對嚴密的邏輯。

二、合情推理的教育價值

（一）合情推理能力是知識經濟時代創新型人才的必備素質

20世紀中期以來，知識經濟逐漸取代工業經濟，成為國家經濟體系中占有主導地位的經濟形態。知識經濟時代相比工業經濟時代，最大的區別就是對創新型人才的需求格外迫切，創新已然成為一個民族的靈魂，支撐著整個民族的發展。信息化時代，需要更多的創新型人才為祖國發展注入新鮮 血液，而創新型人才的核心素質就是創造能力。什么叫做創造或者創新？按照嚴密的邏輯性，對已有的事物進行論證的過程都不叫創造或者創新，只有由已有事物、已有認知推出新事物、新發現的過程才叫創新。合情推理的過程與創新的過程相契合。因此，提升合情推理能力是培養創新型人才的重要路徑。

從數學知識創新的角度來講，周圍世界中新知識的產生幾乎都與合情推理有著緊密的聯系，新知識形成的思辨過程往往都是按照合情推理的方式進行的[5]。在數學領域，不僅要發展學生嚴謹的邏輯思維，更要注重發展學生的探索性思維，培養他們的創造性。探索性思維和創新能力的培養都離不開合情推理能力的提升。

史寧中教授特別指出：“從學理上說，人的創新能力的形成依賴于知識的掌握、思維的訓練和經驗的積累。其中，最核心的是思維訓練……多年來，我國基礎教育在學生思維能力的培養中，主要弱在了合情推理能力的培養上，給創新性人才的成長帶來了嚴重的阻礙。[6]”合情推理的過程不是對已有結論的證實過程，而是對已有經驗進行分析，得出新事物的過程。因此，在知識經濟背景下，合情推理能力是創造與發現的源泉，是創新型人才的必備素質。

（二）合情推理能力的提升有助于數學深度學習

合情推理本質就是運用小學生較容易理解的類比和不完全歸納方法對已有知識進行整合，而深度學習著重強調的也是學習內容的有機整合，兩者的內涵是相契合的。合情推理并沒有完全淡化數學推理的嚴謹性，合情推理也是沿襲以既有知識為基點的推理。已有知識并不是所學到的全部數學知識，而是與所解決問題相關的知識，是同一個系統領域中的知識。如，小學數學中，可以將“數的認識”看作一個知識系統，整數、小數和分數可以分別看作“數的認識”中的“子系統”。數學深度學習則是以數學學科的核心內容為載體，對數學知識進行整體分析和統一規劃，提煉出知識的核心內容[7]。學科知識的核心內容一般是學科知識的主要內容和關鍵部分，往往是一組內容或一個知識群。如，可以將“數的認識”看作是一個核心內容群。由此可見，深度學習中的核心內容和合情推理中的系統知識內涵相似。數學合情推理的主要過程，就是運用遷移的思維方式將系統知識群里的知識相互連接，吐故納新，不斷審視系統知識中已有的知識結構，是推出新知識的過程，也是為數學深度學習奠定知識基礎的過程。

由此可見，合情推理的知識儲備過程就是深度學習將新概念、已知概念與原理聯系起來，整合到原有的認知結構中，從而引起對新知識信息的理解，長期保持及遷移應用的過程。合情推理要求學習者深入理解已有知識，相對準確地判斷和把握關鍵要素，在相似情境中能夠做到 舉一反三，也能在新情境中分析、判斷差異，并將原則思路遷移和運用。因此，合情推理的過程與數學深度學習有著緊密的聯系，學生合情推理能力的提升有助于其數學深度學習的進行。

（三）小學階段是合情推理能力發展的關鍵時間點

合情推理能力不是與生俱來的，它具有一個發展過程，需要從小培養。合情推理能力的發展與學生的已有經驗、思維水平等因素有關。因為學生的已有經驗是一個不斷積累的過程，學生的思維水平也是一個不斷提升的過程，所以學生的合情推理能力也是一個不斷發展的過程。

相對于小學生，初中生的數學學習主要是以邏輯思維為主，合情推理能力已經到達相對較高的水平。從細節上來分析，初中生經過6年的小學數學學習后，基礎知識牢固，類比思維和歸納思維相對成熟，遷移能力和認知風格已經形成一定的個體特點。相對于合情推理，初中生演繹推理能力的發展空間更大，可塑性更強。縱觀小學階段，在學生已有經驗方面，低年級小學生對周圍事物的認識還處于以自我為中心的階段，生活經驗不足，并且學到的知識相對淺顯；在學生思維水平方面，低年級小學生主要是以表象和形象思維為主，有一定的歸納和類比推理能力，但都是不完整的猜測或偶然的經驗結論。因此，此階段的小學生沒有足夠的經驗和思維水平作支撐，合情推理能力水平較低。到了高年級，學生對周圍世界的認識范圍逐漸擴大，生活經驗得到擴充，并且對知識的學習不斷深入，學生已有的生活經驗和知識經驗都在積累。學生已有經驗不斷積累的過程也是學生合情推理能力的基礎不斷加固的過程。高年級學生的思維能力在不斷增強，能夠從已有經驗中找到歸納點和類比物，為猜想提供依據，他們的合情推理能力水平高于低年級學生。基于已有經驗和思維水平的合情推理能力發展是具有過程性的，無論是知識積累還是思維提升，都不是本來就具有的，而是需要不斷培養才能達到每個階段的水平。因此，合情推理能力需要從小培養。