函數概念的演變

趙艷艷

[摘 要] 函數概念的產生與發展不僅反映了近現代數學發展的歷程，而且包含著豐富的數學思想，是一種優秀的解決問題的數學方法。探索人類在認識函數的過程中表現出來的思想方法，對函數概念的教學具有重要的引導作用，對提高學生的數學素質、培養學生的創新精神和應用意識都具有無可替代的作用。

[關 鍵 詞] 函數概念；思想演變；文化價值

[中圖分類號] O714 [文獻標志碼] A [文章編號] 2096-0603（2018）28-0148-02

函數概念作為一種重要的數學概念，是重點也是難點。函數概念的發展是一個漫長、曲折的過程，經歷了離散到連續、靜止到運動、運算到關系的動態變化，最終實現了數與形的有機結合。函數概念的演變從歷史發展的階段性來考察，目前對函數概念的演變基本上有兩種形式的描述，一種按函數定義的發展大致分為變量說、對應說和關系說，體現了函數概念由模糊、具體到清晰、抽象的發展過程。第二種按兩個變量之間的表示形式分為解析形式的函數、幾何形式的函數以及集合觀念下的函數，其中前兩種形式分別從代數和幾何兩個角度對函數做了不同的描述，集合觀念下的函數則把前兩種定義統一到同一概念中。

一、早期的函數關系

早期的數學家已經接觸到了變化和變量思想，但他們對函數概念的本質認識不清，僅僅是在特定的背景下或是為解決具體問題提出了三種函數關系，即表格形式的函數關系（倒數表、平方表等）、幾何形式的函數關系（利用幾何的直觀，將對變化的研究與坐標聯系起來）、解析形式的函數關系（用文字和語言表達函數關系）。這三種關系是具體的依賴關系，不具有普適性。但這些關系中蘊含了一種重要的數學思想——“對應”思想，這在函數的形成、發展過程中起到了關鍵的作用。但這只能稱作函數概念的初始階段，是對具體函數進行的研究。

二、函數概念的產生

17世紀人們對初等函數的認識已經達到了相當復雜的程度，一些簡單的超越函數（對數函數、三角函數、雙曲函數）得到了全面的研究。同時笛卡爾變量數學的產生和牛頓、萊布尼茲微積分的發展使函數概念的產生成為可能，人們認識到各種具體函數之間存在一種共同屬性——變化。由此，函數概念脫離了它所依附的天文、物理、音樂背景，作為一個獨立的數學概念被抽象出來。1963年8月，萊布尼茲用“函數”一詞來表示任何一個隨著曲線上的點的變動而變動的量（曲線的斜率，曲率半徑或曲線上點的坐標等），這帶有強烈的幾何烙印。

三、函數概念的深化

1698年，約翰·伯努利首次從解析的角度定義函數，他把“由變數x和常數所構成的式子，叫作x的函數”。“變量”的含義得到了深化，函數的“變量關系”得到進一步說明，但嚴格說，它仍只是函數概念的一個模糊而又不確切的表述。

1975年歐拉在他的新定義中進一步強調兩個變量之間的依賴關系，也正因為強調“隨著變化”使函數概念的外延縮小。歐拉的函數概念把解析式和曲線等概念混在一起，缺乏嚴密性，所以是含糊的，不能被所有人接受。

19世紀，伴隨著橢圓函數、超橢圓函數和阿貝爾函數的產生，代數函數論變得豐富起來，人們對函數概念又有了新的認識。1821年法國數學家柯西以嚴格化為目的，重新對變量和函數作了定義，澄清了函數、曲線、連續、不連續等概念之間的關系。“自變量”一詞第一次出現在函數的定義中。柯西的函數定義仍區分了x和y的關系有兩個以上表達式的情況。1834年俄國數學家羅巴切夫斯基的函數新定義進一步建立了自變量和函數值之間的對應關系，使“對應”這一函數概念的本質屬性更加明確，是對函數概念的一次重大發展。1851年，黎曼函數定義徹底拋棄了把函數視為解析式或圖像的束縛，避免了以往函數定義中對依賴關系的描述，以完全清晰的方式被所有數學家接受。黎曼定義更帶有普遍性，為理論研究和實際應用提供了方便。從1874到1989年，康托爾完成了古典集合論的創建工作。在康托爾集合論的基礎上，出現了一個包含了所有今天數學以及其他學科中所用的集合函數的概念。

隨著函數概念的不斷深化，到20世紀初，人們根據各類函數的特征類型將函數分為解析函數、連續函數、不連續函數等，同時加在自變量和函數值上的枷鎖被解除，可以連續或不連續地取值，這樣函數概念的意義就更加廣泛了。后來將變量限制在數中這個限制也消除了，更具一般性，變量的取值可以是數也可以是其他對象。由此，美國數學家維布倫等人給出了函數的近代定義，即現在高中課本中關于函數的定義。這個定義使變量之間的對應關系更加明確，把握住了函數定義的實質。

從約翰·伯努利、歐拉、傅里葉、柯西、黎曼等人對函數概念的不同描述可以看出，函數概念的發展是一個弱抽象的過程，到今天加在函數概念上的種種限制被逐一解除，不管自變量的值有幾個，是數還是點，只要自變量與因變量之間滿足函數定義中的對應關系即可，函數概念發展到今天具有更加廣泛的定義而且還在繼續著。

四、函數概念演變的教育意義

函數概念演變過程蘊涵著的豐富的數學思想和數學方法，可以為我們進行函數教學提供許多具有參考價值的東西，使我們的教學更加符合學生的思維發展規律。

（一）思維的啟示

函數概念不是現成地從某個人那里產生出來的，它經歷了一個萌芽、精確化和概括化的過程，即函數思想的演變是漸進的，經歷了由具體、直觀到邏輯、抽象發展的漫長過程。由思維發展的歷史相似性可知，學生思維也會經歷從感性經驗到具體形象，到抽象邏輯的過程。教學過程中把函數概念的發生、發展過程呈現給學生，可以幫助學生更好地理解函數概念的本質核心。

（二）思維的遷移

函數概念的演變經歷了從簡單的代數運算到抽象的函數定義，包含了數學思維中的歸納、類比、演繹思想，體現了數學思維的遷移和深化。它的每一次擴展都體現了前人在探索問題的過程中數學知識與思想方法的有機融合。按照函數概念的歷史發展脈絡可以將函數概念中包含的集合對應觀點、函數分析方法、變量思維方式、等價交換與數形結合方法一一融入函數的教學，使數學課堂更加生動。

（三）數學思維的發展

每一個數學理論的形成或一次數學思維的發展都是在解決實際問題的過程中產生的，函數概念的形成也遵循這一規律。在函數概念的教學過程中，挖掘實際生活中具有啟示意義的典型例子，有助于學生準確把握函數定義，并形成正確的解題方法，取得良好的學習效果。

教學中我們不能把函數的來源背景、理論形成一一

呈現給學生，但是我們能夠把函數概念所蘊含的思維火花和思想方法濃縮在函數教學中，使函數概念的教

學更加具體、形象，使學生的數學素養得到更大的提升。

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