概率論與數理統計的應用

寇磊 達佳麗

[摘 要] 概率論屬于數學學科的分支，以研究隨機現象問題為主要方向。其中體現出本質的數學思想，在通信工程、計算機科學、醫學、物理學、經濟、社會等方面都有涉獵。運用概率統計知識尋找內在的統計規律，并用來指導實踐活動，有利于實施正確的決策和行動。平日里眾多難解且難以下決定的問題，利用概率統計的知識，將它們轉化為純數學的問題，就可以輕松處理。通過數學期望在生活中的應用、利用方差預估選手上場的情況、中心極限定理在公司運營中的應用、古典概型在生活中的應用和概率知識用于生活評估這五個方面具體開展說明。

[關 鍵 詞] 概率論；數理統計；方差；應用

[中圖分類號] O21-4 [文獻標志碼] A [文章編號] 2096-0603（2018）28-0109-01

一、數學期望在生活中的應用

期望，又名均值，即數學期望，是概率論中舉足輕重的數字特征，在經濟管理工作中是不可或缺的。

（一）利潤問題

在生產活動中，生產或銷售無不追求高額利潤，供求不平衡都做不到雙贏。但在市場經濟系供需關系難以提前知道。聰明的商家往往按照歷年的數據，用數學期望結合其他學科的相關知識，選出最優的營銷方案。

（二）醫療問題

在對某種疾病做調查時，為減少工作量，采取隨機抽樣的方法，但取樣要有代表性，求出期望，據此估計出該疾病的危害。

二、利用方差預估選手上場的情況

方差：設x是一個隨機變量，如果E[x-E（x）]存在，則稱之為隨機變量x的方差記作D（x）或Dx。

選手的選拔十分關鍵，選手成績的高低、發揮的水平，都會影響比賽成績，所以選手的選拔不可忽視。例：甲、乙兩名選手平日里成績相同，但甲的方差比乙大，問兩名選手應如何選擇？

分析：由于隨機變量的方差反映了x與其數學期望E（x）的內在聯系。可得出方差越小則選手的成績越穩定，所以乙選手適合。此外，方差在其他領域中都有廣闊的天地，如在計算機領域中統計語言模型，適用于語音識別等。駕馭了方差及其相關的性質，生活中部分看似抽象的問題能容易解決。

三、中心極限定理在公司運營中的應用

大數定律和中心極限定理是商業永葆青春的根本。一家公司的盈虧，利用中心極限定理的知識就能估算和預測。下面舉一實例來闡述大數定律和中心極限定理在公司中的重要作用。

例：有10000人購買了某戶外運動公司提供的意外傷害保險，每人一次交200元，若購買者在這次活動中死亡，戶外運動公司賠償給家屬10000元。設死亡率為0.017，求該公司在這一次活動中虧本的概率。

解：設該次活動中死亡的人數為x，則x符合參數n=10000，p=0.017的二項分布，期望，方差，標準差。戶外運動公司每年收入為10000×200=2000000元，支出10000x元，獲利（2000000-10000x）。由該式，我們便能求出當死亡人數大于等于200時，公司虧本。利用棣莫弗-拉普拉斯定理，求出公司虧本的概率為0.01。可看出中心極限等定理對公司的運營方式起指引作用。

四、古典概型在生活中的應用

投資活動總有一定的風險。在投資決策時，許多人進退兩難，下面我們應用概率的知識，通過實例計算一下在投資時，如何做能讓你獲得最大利潤。例：某人有9萬元資金，想投資某項目，預計成功的機會為30%，可得到獎金10萬元，失敗的機會為70%，將損失2萬元，若存入銀行，同期間的利率為4%，那么，此投資是否值得？

解：以ε記投資此項目的投資利潤，則投資利潤的平均值即ε的數學期望為E（x）=1.6萬元，而存入銀行的利息為10×4%=0.4萬元。從期望收益的角度看，應選擇投資。在選擇決策前算出各種情況的平均值即數學期望，能找到合理的投資方案。

五、概率知識用于生活評估

工廠產量高，逐個統計出來不現實。我們能利用概率的知識對產量展開評估，最后能夠較精確地統計出產量。例：有n輛車，車牌號從1到n，有人摘抄遇到的n輛車的牌號，以遇到每輛車的概率相同為假設條件，求摘抄到的最小號碼恰好為k的概率。

解：由題目可得出遇到每輛車的概率相等，所以視為古典概率模型，設摘抄到的最小號碼為k這一事件用ak來表示，設摘抄到的最小號碼不超過k這一事件用bk來表示，很明顯有ak=bk-b（k-1），根據概率的性質，P（ak）=P（bk）-P[b（k-1）]。根據古典概率求得P（bk），最后得到P（ak）。

概率論除了在這五個方面產生作用，在生活中也發揮著不可估量的作用。無論現在、過去甚至未來，乃至日常生活和經濟活動，用概率統計的知識分析整合有用的數據，能為未來的決策提供經驗。我們不斷接觸隨機事件、概率、隨機變量及其分布，更要理解深層次含義，融會貫通。掌握隨機變量內在的數字特征，鉆研對數學期望、方差，大數定律及中心極限定理等的求解，才能深入了解分布的規律，把握概率思想，應對生活中紛繁復雜的問題。

參考文獻：

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