初中數學教育中模型思想融入策略研究

張俊忠

[摘 要] 通過數學建模活動，能夠促進學生在解決問題的過程中，自覺地從數量關系和空間形式上進行思考，形成嚴密的邏輯推理意識，逐步形成全面考慮問題的整體意識，不斷培養學生的創造性思維等。從初中數學教育中模型思想融入的意義、理論基礎和策略等三方面進行闡述。

[關 鍵 詞] 模型思想；創造性思維；策略；教育技術

[中圖分類號] G633.6 [文獻標志碼] A [文章編號] 2096-0603（2018）28-0030-02

數學的應用是數學教育的一個重要任務，隨著現代數學的發展，提高全民的數學素養已成為教育工作者的重任。《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：“在數學課程中，應當注重發展學生的數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力和模型思想。”模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑。模型思想的歷史可以追溯到人類開始使用數字，當人類使用數字時，就不斷地建立一些數學模型來解決實際問題。

一、初中數學教育中模型思想融入的意義

（一）培養學生數學化思考意識

學習數學就是為了學會數學化，如數學教育家弗賴登塔爾所說“與其說學數學，倒不如說學習數學化”，數學化的本質在于現實問題數學化、數學內部規律化、數學內容現實化。數學化思考就是指在具體的情境中抽象出事物的本質，概括出事物之間的共同特征和普適規律，即抽象概念、建立數學模型。通過數學建模活動，能夠促進學生在解決問題的過程中，自覺地從數量關系和空間形式上進行思考，形成嚴密的邏輯推理意識，逐步形成全面考慮問題的整體意識等。

（二）培養學生創造性思維能力

創造性思維是人類最高層次的思維活動，其實質是合理、協調地用邏輯思維、形象思維和直覺思維等多種思維形式，使有關信息有序化，從而產生積極的效果。如教育家劉佛年指出：“只要有點新意思、新思想、新觀念、新設計、新意圖、新做法、新方法，就稱得上創造。”數學建模活動需要進行較復雜的綜合思維過程，必須把邏輯思維和直覺思維結合起來，由于問題本身具有“障礙性”，不可能直接利用公式或性質得出結果，需要進行轉化。創建模型，本身就是學生創造性活動的過程。在初中階段，在教學中融入模型思想，可以激發學生學習數學的興趣，促進學生創造性思維的發展。

二、初中數學教育中模型思想融入的理論基礎

（一）建構主義理論

建構主義也稱為結構主義，屬于認知心理學派。建構主義理論的核心概念是圖式，圖式是指個體對外部世界的認識和理解方式。認知發展受三個過程的影響：即同化、順化和平衡。同化是指個體對外部刺激的吸收或過濾的過程。順應是指原有認知結構無法同化外部刺激提供的信息時，所導致的認知結構發生改造與重組的過程。平衡是指個體通過調節機制使認知過程從一種平衡狀態向另一種平衡狀態轉變的過程。建構主義倡導以學習者為中心的教師指導下的學習，也就是既強調學習者的認知主體作用，又不忽視教師的指導作用。

（二）元認知理論

“元認知”是繼識別、記憶、注意、思維之后的一個新名詞，美國心理學家弗拉維爾首先使用該名詞，一般都認為元認知就是對認知的認知，其本質是個體對認知過程的自我調節和自我意識。元認知包括三部分：元認知知識、元認知體驗、元認知監控。元認知監控是元認知的主體，體現在主體根據知識特點、自身認知特點和學習目標等制訂計劃、確定策略、評價有效性、做出補救措施等。在基礎教育階段，元認知教育是促進學生由他主學習到自主學習的一個過渡過程，本階段的順利開展對認知個體形成一定的方法和價值體系起著關鍵的作用。

三、初中數學教育中模型思想融入的策略

（一）從數學教材出發，關注教材原題的改變

對教材中的例題和習題，可以通過改變題設和互換題設結論，形成新的數學建模問題；對教材中的純數學問題，可以根據現實性、趣味性、可行性等原則，改編出具有實際生活背景的建模問題。

例1 如圖，△ABC的外角∠CBF的平分線BD與外角∠GCB的平分線CE相交于點P。求證：點P到三邊AB、BC、CA所在直線的距離相等。

分析：顯然此題利用角平分線的性質就可以解決。先過點P分別作直線AB、BC、AC的垂線段，利用角平分線的性質，通過等量代換，可以證明這三條垂線段相等，因此點P到三邊AB、BC、CA所在直線的距離相等。

此題做完之后，可以讓學生思考點P只要是哪兩個角的角平分線的交點就可以得到題目的結論。通過討論，可以得出點P只要是三個角∠A、∠GCB、∠FBC中的任意兩個角的角平分線的交點，就可以得到點P到三邊AB、BC、CA所在直線的距離相等。還可以讓學生研究∠A與∠BPC的數量關系，那就是∠A+∠BPC=90°。

此題是人教版八年級上冊中的練習題。這樣以一個數學模型為樣本，深挖其中線段、角所隱含的關系，能夠充分培養學生的發散性思維能力，從而提高學生的創造能力。

（二）從現實生活出發，培養學生的數學應用意識

現實生活是數學應用問題的主要源泉，生活中的許多問題可以通過建立數學模型協助解決，如家庭電費水費的計算、運輸費用問題、統籌安排問題、資源分配問題等，都可以通過建立初等教學模型，理順其中的數量關系。教師可以結合數學教材的實際內容，適時指導學生探究生活中的數學，這樣不僅能夠促進學生對數學知識的理解，而且能夠提高學生的應用能力。

例2 南海地質勘探隊在南沙群島的一小島發現很有價值的A，B兩種礦石，A礦石大約565噸，B礦石大約500噸，上報公司，要一次性將兩種礦石運往冶煉廠，需要不同型號的甲、乙兩種貨船共30艘，甲貨船每艘運費1000元，乙貨船每艘運費1200元。

（1）設運送這些礦石的總費用為y元，若使用甲貨船x艘，請寫出y和x之間的函數關系式；

（2）如果甲貨船最多可裝A礦石20噸和B礦石15噸，乙貨船最多可裝A礦石15噸和B礦石25噸，裝礦石時按此要求安排甲、乙兩種貨船，共有幾種安排方案？哪種安排方案運費最低并求出最低運費。

解：（1）∵y=1000x+1200（30-x）

∴y=36000-200x

（2）設安排甲貨船x艘，則安排乙貨船（30-x）艘，根據題意得：

20x+15（30-x）≥56515x+25（30-x）≥500

∴23≤x≤25.

∵x為整數，

∴x=23，24，25.

方案一：當安排甲貨船23艘時，則安排乙貨船7艘，此時36000-200×23=31400；

方案二：當安排甲貨船24艘時，則安排乙貨船6艘，此時36000-200×24=31200；

方案三：當安排甲貨船25艘時，則安排乙貨船5艘，此時36000-200×25=31000；

∴31000<31200<31400

∴當安排甲貨船25艘、乙貨船5艘時，運費最低，是31000元。

（三）應用教育技術，提高學生建模的能力

隨著科技的發展，現代教育技術不斷被引入課堂。現代的多媒體、教育軟件等給現代教育增添了無限的可能。教師可以將一些教育軟件知識教給學生，如Mathematica、幾何畫板、超級畫板等。利用教育技術，不僅能培養學生的觀察能力，而且能提高學生的直覺思維能力，進而增強學生的建模能力。

例3 如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是CD和BC上的點，連接FE，當∠FAE是45°時，試確定線段BF、FE、ED之間的數量關系，且給出證明。

分析：此題可以充分利用幾何畫板的測量功能，通過實驗的方式，首先直覺判斷這三條線段的數量關系，再推理論證。比如當確定一個∠FAE是45°，E、F的位置固定時，利用幾何畫板的測量功能，測量此時BF、FE、ED的長度，發現有BF+ED=FE。改變E、F在CD、BC上的位置，利用幾何畫板的測量功能，保證∠FAE是45°，再測量BF、FE、ED的長度，發現還是有BF+ED=FE。多做幾次這樣的實驗，發現總是有BF+ED=FE。于是可以大膽猜測BF、FE、ED之間的數量關系，即是BF+ED=FE，然后進行推理論證。實際上此題還可以利用幾何畫板的測量功能，當∠FAE是45°時，測量∠BFA與∠EFA，測量∠FEA與∠DEA。通過多次數學實驗的結果，可以直覺判斷它們的數量關系，即∠BFA=∠EFA，∠EFA=∠EFA，再進行推理論證。

（四）通過數學綜合和實踐活動，發展學生建模能力

數學綜合與實踐活動是以問題為載體、師生共同參與的學習活動。通過此種活動，不僅能夠幫助學生積累數學活動經驗，而且能夠培養學生的數學應用意識與創新意識，也是發展學生建模能力的主要途徑。當前經濟生活中，模型思想在統計學方面的應用得到了很好的體現。

例4 亞健康是時下社會熱門話題，進行體育鍛煉是遠離亞健康的一種重要方式，為了解某市初中學生每天進行體育鍛煉的時間情況，隨機抽樣調查了100名初中學生，根據調查結果得到如下所示的統計圖表。請根據表中信息解答下列問題：

（1）小王說：“我每天的鍛煉時間是調查所得數據的中位數”，問小王每天進行體育鍛煉的時間在什么范圍內？

（2）據了解該市大約有30萬名初中學生，請估計該市初中學生每天進行體育鍛煉時間在1小時以上的人數。

點評：統計的內容具有非常豐富的實際背景，在現實世界中有著廣泛的應用。要構建統計模型，最有效的方法是投入統計的全過程之中，提出問題、進行抽樣、收集數據、整理數據、分析數據、做出決策。

總而言之，數學建模是實際問題與數學的聯系紐帶。雖然數學建模的結構靈活，但是數學建模的過程是培養學生不斷探索、不斷創新的過程。在初中數學教育中融入模型思想，不僅符合新課程的理念，而且是素質教育發展的需要。

參考文獻：

[1]陳理榮.數學建模導論[M].北京：北京郵電大學出版社，1999.

[2]卜月華.中學數學建模教與學[M].南京：東南大學出版社，2002.