高等數學中的數學文化觀

【摘要】高等數學中的主要內容有微積分、常微分方程、級數和空間解析幾何等，本文探討高等數學中的數學文化觀。

【關鍵詞】數學文化；微積分；常微分方程

高等數學是高校理工科專業的基礎數學課。高等數學的知識點涉及面廣泛，主要內容有微積分、常微分方程、級數和空間解析幾何等內容。教師做到從文化的層面了解現代數學，欣賞數學，以便能在高等數學教學過程中將數學文化滲透每個知識點，以拓寬學生的知識面，調動學生學習高等數學的積極性。下面具體分析高等數學四大主要知識：微積分、常微分方程、級數和解析幾何中的數學文化。

一、微積分中的數學文化

微積分的創立，是為了解決17世紀主要的科學問題。當時主要有四種主要類型的問題。第一類是物理中的問題，變速直線運動中已知加速度求速度和距離。第二類是求曲線的切線。第三類是求函數的最大值和最小值。第四類是求曲線長、物體的中心、引力。這些問題被很多個數學家諸如羅貝瓦爾、巴羅、費馬、卡瓦列里、沃利斯研究過，其中貢獻最大的是牛頓和萊布尼茨。牛頓受沃利斯的影響比較多，他主要運用無窮小的方法來研究微積分。萊布尼茨從1684年開始發表微積分論文，他非常注重微積分的規范，建立了微積分的法則和公式。他很早就意識到，微分和積分是相反的過程。他的工作借助于伯努力兄弟做了大量的發展。對于微積分的優先權一直在爭論，萊布尼茨被認為是剽竊者。后來的查證發現他們二人都是獨立的完成微積分的創立工作。所以現今把他二人作為微積分的創立人。

在有了定積分和不定積分后，兩者之間有什么關系呢？求曲邊梯形的面積和變速直線運動下的路程過程中，數學家們定義了定積分。定積分和微分學本無直接聯系。不定積分，萊布尼茨早就發現不定積分是“導數”的反問題。兩者之間的關系在牛頓—萊布尼茨公式中找到了答案。

二、常微分方程中的數學文化

18世紀，數學家謀求用微積分解決越來越多的物理問題，很快他們發現不得不對付一類新的問題。微分方程就應運而生了。有幾類物理問題促進了微分方程的研究，比如：彈性理論這一領域的問題；擺的問題；月球的運動。常微分方程最早的著作出現在數學家們彼此的通信中或者出現在那些常常重登書信中建立的或說明的結果的刊物中。

三、級數中的數學文化

在18世紀，甚至到今天，無窮級數一直被認為是微積分的一個不可缺少的部分。實際上，牛頓研究級數是和他的流數法分不開的，因為對于稍微復雜一些的代數函數和超越函數，只有把他們展成無窮級數病進行逐項濰坊或積分，他才能處理他們。數學家們學會歐諾個有盡的形式來研究初等函數。雖然如此，級數仍然是某些函數的唯一表達式，而且是級數初等超越函數最有效的工具。17世紀后期和18世紀，擺在數學家面前的問題之一是函數表的插值。為了適應航海、天文學和地理學的進展，要求三角級數、對數函數和航海表的插值有較大的精度。格雷戈里—牛頓內插公式由泰勒發展成一個把函數展開成無窮級數的最有利的方法。

四、空間解析幾何中的數學文化

18世紀歐拉，克萊羅等數學家在空間解析幾何中的貢獻非常大。1700年前就已經有了二次曲面的概念?；莞挂M了微積分來處理平面曲線?？巳R羅開創了空間曲線的理論。和空間曲線的理論意義，曲面的理論經歷了一個漫長的開端。曲面理論是從曲面（主要是地球）上的測地線的研究開始的。曲面論的一個主要方面是由于繪制地圖的需要而發展起來的，這就是研究可展曲面，即可以將其平攤在平面上而不產生畸變的曲面。歐拉是研究這個問題的第一人。

高等數學的數學知識點是18世紀西方數學發展的內容。其發展過程曲折?，F今我們所學知識得益于數學家們的獨創性。這些知識點都是數學家們在解決當時熱點問題所提出來，并且作了不斷的理論完善和論證。

參考文獻

[1]同濟大學應用數學系.高等數學[M].北京：高等教育出版社，2014.

作者簡介：歐陽云（1982—），女，江西萍鄉人，河池學院數學與統計學院，副教授，研究方向：微分方程。