運行和方差控制圖的改進

楊 靜，宋向東，張雪芳，焦博雅

（燕山大學 理學院，河北 秦皇島 066004）

0 引言

控制圖被看作是統計過程控制（SPC）中最有效的工具之一，用于監控過程參數和檢測生產過程是否處于受控狀態。檢測過程方差與檢測過程均值一樣重要。過程方差的增加會導致產品質量的降低，過程方差的降低意味著生產水平的提高，可能預示了未來產品質量的提高。當前最普遍使用的檢測過程方差的控制圖是休哈特（Shewhart）R圖，S圖和S2圖。眾所周知，傳統的休哈特控制圖只對大偏移敏感，對小的和中等的偏移不敏感，另外它們在樣本容量很小時，檢測過程工藝提高的效率低下。

為了克服這些缺點，一些學者提出和研究了帶有運行規則的檢測過程方差的控制圖，之后Reynolds進行了進一步的研究。起初，它的提出是用于檢測過程均值。Jaehn[1]提出了運行和控制圖的一個特例，控制圖在中心線上下各劃分四個區域，把這種控制圖叫做區域控制圖。Davis等[2]研究了區域控制圖的改進。Champhe和Rigdon[3]用馬爾科夫鏈方法分析了運行和圖平均鏈長的分布。Rakitzis和Antzoulakos[4]提出的監測過程方差的運行和控制圖。Schoonhoven[5]研究和分析了帶估計參數的標準差控制圖。文獻[6]和文獻[7]介紹了運行和控制圖中的其他研究工作。郝惠娟[8]改進了基于對數方差的累積和控制圖，設計了可變抽樣區間累積和方差控制圖。薛麗[9]提出了可變抽樣區間的二項變量累積和控制圖。張斌和周偉燦等[10]針對過程異常導致均值和標準差同時發生漂移的情況，考慮田口質量損失、抽樣成本等，構建了綜合損失模型，提出了可變抽樣區間X-R圖優化設計方法。本文在前人研究基礎上，給出不同區域劃分，設計了加入-1得分的單邊運行和方差控制圖，并研究其平均鏈長表現。

1 單側運行和方差控制圖（RSS）設計及平均鏈長的計算

1.1 傳統S圖

Xij為來自質量特性值X的樣本容量為n的第i個隨機樣本的第 j個觀測值。第i個樣本的樣本均值和樣本標準差分別為：

假定樣本獨立，且質量特性值X服從正態分布，其受控下標準差為σ0（假設X的均值一直保持在目標值，且不失一般性本文采用σ0=1），一個失控的標準差值記作σ1=τσ0(τ＞0)。 τ＞1和 0＜τ＜1分別對應過程標準差的增加和減少。對于τ=1代表過程處于受控狀態。

對于傳統的雙邊S圖，隨著樣本數量i，統計量Si它的統計設計需要一對控制線的設定：一個上控制線UCL和一個下控制線LCL，對于單邊S圖則只需要上控制線UCL。由于S統計量的偏斜，一些研究者提倡使用概率極限，以此代替傳統的3σ極限。因此對于錯誤警報率為a的單邊S圖，上控制限為（其中 χ2n-1;a代表自由度為n-1的卡方分布的上a分位點）。一旦有觀測點落在控制限外，即Si＞UCL，表明過程方差可能增加，與之對應的生產過程變差。

控制圖常用的一個評價指標是它的平均鏈長（ARL）。對于一個過程參數給定偏移的情況，ARL是直到發生報警那一刻樣本點落在控制圖上的平均數量。在休哈特控制圖中，ARL=1/p，p是一個點落在控制限之外的概率。因此當過程標準差偏移σ1=τσ0(τ＞1)，單邊有上限的控制圖失控的ARL（記作ARL1）可由如下P計算：

1.2 單邊的運行和方差控制圖及ARL計算

單邊的運行和方差控制圖需要把傳統單邊S圖分為若干個區域，對每個區域給定一個得分，統計量落在哪個區域則累加相應得分，當累積得分超過一個規定值，控制圖就會發生失控信號。本文只研究把單邊控制圖劃分為四個區域的情況，這也是其他學者們研究最多的情況，被稱作是區域控制圖。在單邊控制圖中加入3個上控制線，UCL1＜UCL2＜UCL3。其中：

本文把包含四個區域，得分分別為 a1，a2，a3，a4，決策值為 H 單邊的運行和方差控制圖記為 RSSH(a1，a2，a3，a4)。劃分區域，對應得分以及概率如表1所示。

表1 RSSH（a1，a2，a3，a4 ）的區間劃分，對應得分及概率

由表1可得得分與觀測值對應函數：

對于單邊運行和控制圖的檢驗，基于統計量：

其中i=1，2，…，j=1，2，3且C0≥0。C0的初始值取決于是否加入初始響應。單邊的控制圖報警當Ci≥H，其中H是一個合適的決策值。顯然，累積得分取正整數值0，1，2…，H 。過程的初始狀態記為 E0；若Cn=i，則稱過程處于Ei；若Ci≥H，則稱過程處于吸收態EH得到狀態空間后，求得每個狀態的一步轉移概率Pij=P(Cn+1∈Ej|Cn∈Ei)，得到一步轉移概率矩陣：

其中R為P除去最后一行最后一列得到的矩陣，I為H維單位陣，1為元素全為1的H維列向量。根據以下公式（8）可以求出ARL值。

RSSH（a）1，a2，a3，a4的控制限的決定僅僅取決于 L值的選擇，而L值得選取是根據預期設定的ARL0水平，記為c。因此，對于RSSH（a）1，a2，a3，a4的統計設計，建議步驟如下：

步驟2：設定 ARL0=c；

步驟3：根據ARL0=c計算合適的L值；

步驟4：在第i個樣本，如果Ci＞H，則判定過程失控。

假設受控下分布服從標準正態分布，標準差偏移倍數τ從1到2.5，求得帶有不同得分的運行和方差控制圖（RSS）的ARL，結果見表2所示。

表2中數據分別是取受控狀態下ARL0為370時，標準差偏移倍數從1.0到2.5時，運行和方差控制圖RSS14(-1，1，6，12),RSS20(-1，2，7，13),RSS20(-1，2，7，14),RSS20(-1，3，4，12),RSS16(-1，2，3，8),RSS30(-1，3，8，15),RSS42(-1，3，11，19)的ARL值。本文選取其中檢測效率最高的RSS14(-1，1，6，12)控制圖進行以下研究。

表2 不同參數運行和方差控制圖的ARL表現(ARL0=370，n=5)

2 運行和方差控制圖和其他控制圖的比較

2.1 與現有運行和方差控制圖的比較

對比現有的運行和方差控制圖，本文給出了不同區域得分以及門限值的參數設置方法。令受控下的平均鏈長均為370，當方差偏移倍數從1.1到2.5時，現有參數設置的平均鏈長表現與本文中平均鏈長的表現對比結果如圖1所示。

圖1 本文參數設置效果

可以看出，受控下平均鏈長均為370時，標準差偏移倍數從1.1到2.5時，本文參數設置方法產生的運行和方差控制圖的平均鏈長明顯小于現有參數設置的運行和方差控制圖，可以更快地發現生產過程中的質量變化，檢測效率顯著提高。

2.2 與累積和控制圖的比較

2.2.1 累積和控制圖計算原理

先用樣本方差s2來估計總體方差σ2。假定所有觀測值都服從正態分布，且相互獨立，其中總體均值相同，即xi～N(μ0，σ2)，f為概率密度函數，考慮如下假設檢驗問題：

原假設H0成立時，所有的樣本都來自相同的分布，此時方差波動在控制范圍內，過程處于受控狀態。備擇假設H1成立說明方差波動不在控制范圍內，過程失控。由統計學知識，樣本方差 s2服從伽馬分布，概率密度函數為：

利用序貫概率比的基本方法對過程方差進行檢驗，似然比統計量為：

令λn＞A來對過程異常做出判斷，對上式兩邊取對數得：

由上式可以定義檢驗過程方差向上漂移的CUSUM統計量：

2.2.2 運行和方差控制圖與累積和控制圖效果對比

根據檢驗過程方差向上漂移的CUSUM的以上參數設置，用matlab軟件進行萬次隨機模擬，可求出當受控下平均鏈長約為370時，標準差偏移倍數從1.1到2.5時，CUSUM控制圖的平均鏈長。圖2為過程標準差在不同偏移倍數下運行和方差控制圖和CUSUM控制圖的平均鏈長對比結果。

圖2 RSS與CUSUM效果對比

由圖2可以看出，當標準差偏移倍數從1到2.5時，運行和方差控制圖相比CUSUM平均鏈長表現并沒有明顯的優越性。

3 加入初始響應的運行和方差控制圖與累積和控制圖的比較

初始響應特性（fast initial response，FIR），在CUSUM控制圖對過程是否處在受控狀態的判定中顯示出良好的效果。因此，通過加入初值響應的方法改進RSS控制圖，以提高其檢測效率。初始響應值記為S1，以下是RSS14(-1，1，6，12)分別加入7和10的初值響應，對CUSUM分別加入0.25H，0.5H和0.75H時，各控制圖的運行鏈長表現，見表3所示。

表3 加入FIR后RSS與CUSUM效果對比

從表3可以看出，當方差無偏移時ARL近似相等情形下，初始響應值分別為7和10的RSS控制圖相比帶有0.25H，0.5H，0.75H的CUSUM控制圖，在標準差偏移倍數在1到1.3時，RSS檢測效率不如CUSUM。在標準差偏移倍數大于1.3時，RSS檢測效率均優于CUSUM控制圖，說明設計的運行和方差控制圖在檢測中等偏移和大偏移時具有優越性。

4 結論

本文對檢測向上漂移的單側運行和方差控制圖進行了不同的參數設計，利用馬爾科夫鏈方法近似計算控制圖的平均鏈長，運行鏈長結果顯示本文參數設置相比現有的運行和方差控制圖的參數設置，檢測效率明顯提高。但RSS控制圖相比于CUSUM控制圖，效果不具有明顯優越性。因此，本文對RSS和CUSUM分別加入不同的初始響應值，運行鏈長結果顯示，對于方差不同倍數的偏移，RSS在檢測中等偏移和大偏移時具有優越性。鑒于RSS控制圖比CUSUM實施步驟簡單易操作，但其檢測效果可與CUSUM相媲美，因此運行和方差控制圖具有實際可行性。它的進一步研究是有實際意義的。

參考文獻：

[1]Jaehn A H.The Zone Control Chart[J].Quality Progress,1991,24(7).

[2]Davis R B,Jin C,Guo Y Y.Improving the Performance of the Zone Control Chart[J].Communication in Statistics-Theory and Methods,1994,23(12).

[3]Champ C W,Rigdon S E.An Analysis of the Run Sum Control Chart[J].1997.

[4]Rakitzis A C,Antzoulakos D L.Run Sum Control Charts for the Monitoring of Process Variability[J].Quality Technology&Quantitative Management,2016,13(1).

[5]Schoonhoven M,Riaz M,Does R J M M.Design and Analysis of Control Charts for Standard Deviation With Estimated Parameters[J].Journal of Quality Technology,2011,43(4).

[6]Acostamejia C A,Rincon L.The Continuous Run Sum Chart[J].Political Communication,2014,43(20).

[7]Wei L T,Khoo M B C.A Study on the Run Sum X-bar Control Chart With Unknown Parameters[J].International Conference on Aip Conference,2012,1482(1).

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[9]薛麗.可變抽樣區間的二項變量累積和控制圖設計[J].統計與決策,2016，(9).

[10]張斌,周偉燦,費文龍.基于質量損失函數的可變抽樣區間X-R圖優化設計[J].統計與決策,2011，(1).