任意大于2的偶數都是兩素數之和

陸滬僧

(湖南省醴陵市陸順機械廠 412200)

一、素數在數軸上的排列規律

1.S(n,p1p2…pr)數軸

在數軸的正方向上，去掉最小素數p1=2的一切整數倍數的點，再在余下的整數點中去掉下一個素數p2=3的一切整數倍數的點，…，這樣依次做下去,直到去掉pr的一切整數倍數的點,稱這樣的數軸為S(n,p1p2…pr)數軸.

將S(n,p1p2…pr)數軸上留下來的整數點稱為L點.

2.L(n,p1p2…pr)圖線

表示S(n,p1p2…pr)數軸L點位置及規律的圖線，叫L(n,p1p2…pr)圖線.

引進定義和定理

定義：設n是任意實數，[n]表示小于n的最大整數，{n}表示n-[n]，有：[n]=n-{n}.

過數軸上任意點n作數軸的垂線nn0，交L0線于n0，交Q(n,pi)圖線于n1，有：

因為S(n,p1p2…pr)數軸，是在數軸上，減去前r個素數的一切整數倍數的點，加上在減去前r個素數的一切整數倍數的點時重復減去的點;…一直到加上或者減去所有r個素數的一切整數倍數的點，而形成的數軸；

所以L(n,p1p2…pr)圖線，是在表示數軸的圖線上，減去表示前r個素數的一切整數倍數的點的圖線，加上表示在減去前r個素數的一切整數倍數的點時重復減去的點的圖線;…一直到加上或減去表示所有r個素數的一切整數倍數的點的圖線，而形成的圖線.

先求出這些圖線：

數軸圖線，即L(n,p0)圖線.

L(n,p0)圖線的斜率為1；周期為1.

一元圖線，即Q(n,pi)圖線.

每次取出一個素數的一切整數倍數的點的位置及規律的圖線，這些圖線應該減去；

以Q(n,5)圖線為例：如圖3.

二元圖線，即Q(n,pipj)圖線.

去掉pi和pj的一切整數倍數的點時，重復去掉的點位置及規律的圖線，這些圖線應該加上.

以Q(n,3.5)圖線為例：如圖4.

根據L(n,p1p2…pr)圖線形成的規律，有：

L(n,p1p2…pr)圖線=數軸圖線-一元圖線+二元圖線-…+(-1)rr元圖線.

以素數序號r=3為例，畫出L(n,2.3.5)圖線，如圖5

同理，可以得到所有的L(n,p1p2…pr)圖線.

而且，L(n,p1p2…pr)圖線的J點與S(n,p1p2…pr)數軸的L點一一對應,

因此，S(n,p1p2…pr)數軸L點的位置及規律，能夠用L(n,p1p2…pr)圖線表示.

3.L(n,p1p2…pr)圖線的特點.

(1)L(n,p1p2…pr)圖線的J點與S(n,p1p2…pr)數軸的L點一一對應；

(2)L(n,p1p2…pr)圖線原點對稱，對稱原點為n×p1p2…pr(n=0,1,2,…)；

(3)L(n,p1p2…pr)為周期圖線，它的周期為p1p2…pr；

二、素數在對折數軸上的排列規律

1. S2(n,p1p2…pr)數軸

將S(2n,p1p2…pr)數軸沿整點n對折，對折后的S(2n,p1p2…pr)數軸形成的雙層數軸，稱為S2(n,p1p2…pr)數軸.

將S2(n,p1p2…pr)數軸從0到折點n的一段稱為上軸，大于n的一段稱為下軸.

在S2(n,p1p2…pr)數軸上,如果存在這樣的點：這點的上軸是S(2n,p1p2…pr)數軸的L點；下軸也是S(2n,p1p2…pr)數軸的L點,這種上下L點對齊的點稱為L2點.

L2點上軸L點的數值與下軸L點的數值之和為偶數2n.如圖6

2. L2(n,p1p2…pr)圖線

表示S2(n,p1p2…pr)數軸L2點位置及規律的圖線，叫L2(n,p1p2…pr)圖線.

同理，L2(n,p1p2…pr)圖線=對折數軸圖線-一元圖線+二元圖線-…+(-1)rr元圖線.

畫出對折數軸圖線、一元圖線、二元圖線、…、r元圖線.

對折數軸圖線：L2(n,p0).

Q2(n,pi)圖線：

Q2(n,pi)圖線分兩種情況：(1)2n能被pi整除，(2)2n不能被pi整除；

(1)2n能被pi整除：

(2)2n不能被pi整除：

Q2(n,pipj)圖線：

因為Q2(n,pipj)圖線是在去掉pi和pj的一切倍數時，重復去掉的點的位置及規律的圖線，而pi和pj的一切倍數的點與Q2(n,pi)圖線和Q2(n,pj)圖線的J點一一對應,所以Q2(n,pipj)圖線的J點是Q2(n,pi)圖線的J點和Q2(n,pj)圖線的J點的重合點；

Q2(n,pipj)圖線的斜率是Q2(n,pi)圖線的斜率×Q2(n,pj)圖線的斜率.

以Q2(59,3.5)為例(n=59，p2=3，p3=5),如圖10.

Q2(59,3.5)圖線的J點是Q2(59,3)圖線的J點和Q2(59,5)圖線的J點的重合點.

Q2(59,3.5)圖線的斜率是Q2(59,3)圖線的斜率×Q2(59,5)圖線的斜率.

因此，只要確定Q2(n,pi)的J點和Q2(n,pj)的J點的重合點的位置與Q2(n,pi)的斜率和Q2(n,pj)的斜率，Q2(n,pipj)的圖形就能確定.

Q2(n,pipjpk)圖線：

Q2(n,pipjpk)的J點是Q2(n,pi)的J點、Q2(n,pj)的J點和Q2(n,pk)的J點的重合點；

Q2(n,pipjpk)的斜率為Q2(n,pi)的斜率×Q2(n,pj)的斜率×Q2(n,pk)的斜率.

以Q2(59,3.5.7)為例(n=59，p2=3，p3=5，p4=7),如圖11.

Q2(59,3.5.7)的J點是Q2(59,3)的J點、Q2(59,5)的J點和Q2(59,7)的J點的重合點；

Q2(59,3.5.7)的斜率是Q2(59,3)的斜率×Q2(59,5)的斜率×Q2(59,7)的斜率.

同理，可以得到所有的：對折數軸圖線、一元圖線、二元圖線、…、r元圖線.

因為，L2(n,p1p2…pr)圖線=對折數軸圖線-一元圖線+二元圖線-…+(-1)rr元圖線，

所以，通過以上這些圖線的運算，可以得到所有L2(n,p1p2…pr)圖線.

以L2(59,2.3.5.7)為例(n=59，p1=2，p2=3，p3=5，p4=7)說明圖線的畫法：如圖12.

L2(59,2.3.5.7)由下列圖線形成：

L2(59,2.3.5.7)=L2(59,1)-Q2(59,2)-Q2(59,3)-Q2(59,5)-Q2(59,7)+Q2(59,2.3)+Q2(59,2.5)+Q2(59,2.7)+Q2(59,3.5)+Q2(59,3.7)+Q2(59,5.7)-Q2(59,2.3.5)-Q2(59,2.3.7)-Q2(59,2.5.7)-Q2(59,3.5.7)+Q2(59,2.3.5.7).

L2(59,2.3.5.7)的斜率

3.L2(n,p1p2…pr)圖線的一般形式

根據L2(n,p1p2…pr)圖線的特點：

(1)L2(n,p1p2…pr)圖線的J點與S2(n,p1p2…pr)數軸的L2點一一對應；

(2)L2(n,p1p2…pr)圖線是有間斷點的單線圖線；

(3)因為折點n被所有去掉的素數整除，余數的種類有p1p2…pr種，所以，L2(n,p1p2…pr)圖線有p1p2…pr種；

(4)L2(n,p1p2…pr)圖線原點對稱，對稱原點為n×p1p2…pr(n=0、1、2、…)；

(5)計算圖線的斜率時，凡是含pi的所有斜率，斜率的表達式中都含有分母為pi的分數：

如果折點n能被pi整除，計算斜率時，含有pi的所有分數的小數部分，分子都是1，

如果折點n不能被pi整除，計算斜率時，含有pi的所有分數的小數部分，分子都是2，

(當折點n能被pi整除時，ti=1；當折點n不能被pi整除時，ti=2)；

g.因為：t1恒為1，t2-tr=1或者2，所以，L2(n,p1p2…pr)圖線的斜率種數為2r-1.

所以，L2(n,p1p2…pr)圖線有一般形式：如圖13.

三、任意大于2的偶數都是兩素數之和

因為L2(n,p1p2…pr)圖線是周期圖線，所以Cr有最大值.

如果求得Br-Cr的最小值，就可以得到L2(n,p1p2…pr)圖線的J點的最少個數.

下面求：(1)素數序號r為自變量，Cr的最大值；

(2)素數序號r為自變量，Br+1-Br的最小值和Br的最小值.

1.素數序號r為自變量，Cr的最大值

首先，求Ar+1的最大值.

在L2(n,p0)上依次去掉p1、p2、…、pr的一切整數倍數的點，形成L2(n,p1p2…pr)圖線；

(1)如果在去掉pi的一切整數倍數的點時，去掉的J點中包含Ai點，則又會產生Ai+1點；

(2)如果在去掉pi的一切整數倍數的點時，去掉的J點中不包含Ai點，則Ai點變成Ai+1點.

L2(n,p1p2…pr)圖線的0到Ai+1段，在去掉p1p2…pr的一切整數倍數的點時，同時去掉了每次形成的A1、A2、…、Ar；L2(n,p1p2…pr)圖線的L0線上只有0與Ar+1.如圖15.

得出：素數序號r為自變量，Cr的最大值不會大于r+1.

在平面直角坐標上，令x軸為素數序號r，y軸為Cr，

則Cr的取值范圍在直線Cr=r+1，斜率為1的斜線的下方，如圖17.

2.素數序號r為自變量，Br+1-Br的最小值和Br的最小值.

化簡上式，提取公因式Br，在化簡過程中：

(1)除t1=1以外，令其余ti=2時，則L2(n,p1p2…pr)圖線的斜率最小，所計算的Br最小；

因為當r﹥12時，上式將會乘以大于1的數，

所以，當r﹥12時，Br+1-Br﹥1.

這時，求Br的值就變成求B12的值.

所以，當素數序號r=12時，B12>20.

有：r=12時，B12>20；r>12時，Br+1-Br﹥1.

在平面直角坐標上，令x軸為素數序號r，y軸為Br.

根據以上結論，L2(n,p1p2…pr)圖線的Br值的取值范圍在斜率為1，過點(12,20)的斜線(Br=r+8)的上方.如圖18.

3.比較圖17和圖18，將Br=r+8和Cr=r+1兩條斜線放在同一坐標系中，它們是兩條永不相交的平行線，Br的最小值比Cr的最大值至少大于7.如圖19.

因為

S2(n,p1p2…pr)數軸的L2點與L2(n,p1p2…pr)圖線的J點一一對應，所以，當r>12時，S2(n,p1p2…pr)數軸上至少有7對素數之和為偶數.

小于1369的偶數用作圖的方法逐一進行證明，也可以用湊數的方法直接證明.

結論：任意大于2的偶數都是兩素數之和.

參考文獻：

[1]陳景潤.初等數論[M].北京：科學出版社，1978.