數列典型錯解剖析

柳 華 商俊宇

(1.山東省臨沂市中醫藥職工中等專業學校 276000;2.山東省臨沂第十八中學 276017)

數列是高中數學的重要內容之一，也是今后學習高等數學的基礎，因此成為歷年高考考查的重點與熱點.但是學生在解題時往往出現這樣或那樣的錯誤，造成不必要的失分現象.

一、忽視n的取值范圍導致錯誤

例1 已知an=n2+λn(n∈N*)，且數列{an}為遞增數列，求實數λ的取值范圍.

圖1

得到an=n2+λn在[1,+∞)上是單調遞增函數.

得λ>-3，即為所求實數λ的取值范圍.

正解二由題意an+1>an對任意n∈N*恒成立，即(n+1)2+λ(n+1)>n2+λn

化簡得λ>-(2n+1)，因為-(2n+1)max=-3，

因此λ>-3，即為所求實數λ的取值范圍.

二、利用an=Sn-Sn-1求通項公式時忽視n≥2導致錯誤

正解當n=1時，a1=S1=1；

三、忽視等比數列中隔項同號原則導致錯誤

正解設等差數列的公差為d，則

四、等比數列求和中忽視q=1導致錯誤

例4 求和1+3a+5a2+…+(2n-1)an-1.

錯解令Sn=1+3a+5a2+…+(2n-1)an-1①,

則aSn=a+3a2+…+(2n-3)an-1+(2n-1)an②.

五、忽視等比數列中各項不為0導致錯誤

例五若a，b，c，d成等比數列，試判斷a+b，b+c，c+d是否構成等比數列.

錯解設等比數列a，b，c，d的公比為q，則

a+b=a(1+q)，b+c=aq(1+q)，c+d=aq2(1+q)

所以a+b，b+c，c+d構成首項為a(1+q)，公比為q的等比數列.

錯因上述解答中a≠0，q≠0是顯然的，但是當q=-1時，1+q=0是可能的，故解答錯誤.

正解當1+q=0時，a+b=b+c=c+d=0，故a+b，b+c，c+d不能構成等比數列.

1+q≠0，能構成首項為a(1+q)，公比為q的等比數列.

六、公比設法不當致錯

錯因上述具有對稱性的設法不失為一種好的設法，在等差數列中也很方便，但在等比數列中只有當這幾個數為同號時方可使用.上述設法的公比為q=t2>0，但實際上q可以為負數.

正解設這四個數為a，aq，aq2，aq3，

七、忽視隱含條件導致錯誤

錯解由條件a，1，c成等差數列，得a+c=2；

又由a2，1，c2成等比數列，得a2c2=1，即ac=±1.

錯因題設條件中a，1，c是三個不同的實數，若ac=1，結合a+c=2，得a=c=1，不合題意.故只有ac=-1.

參考文獻：

[1]王懷學，肖斌. 高考數學經典題型與變式[M].拉薩：西藏人民出版社，2016.