平面幾何性質(zhì)在圓錐曲線中最值的應用

袁明煥

(福建省壽寧縣第一中學 355500)

一、利用幾何性質(zhì)簡化最值問題利用幾何性質(zhì)減少做題失誤

圓錐曲線最值問題一直是高中數(shù)學的重點和難點之一.圓錐曲線是幾何圖形的一種，最值問題，研究的量也是幾何量.所以在解決圓錐曲線的最值問題過程中，經(jīng)常會用到圓錐曲線的定義方程以及幾何性質(zhì).通過利用幾何性質(zhì)來解答圓錐曲線的最值問題，能夠從一定程度上簡化問題，節(jié)約做題時間，提高做題效率.橢圓是平面內(nèi)兩定點F1,F2的距離和等于常數(shù)2a的動點P的軌跡.而雙曲線則是平面內(nèi)一動點P與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于常數(shù)的點的軌跡. 即│PF1│-│PF2│±2a.

首先咱們來分析一下這一道題，這是一道比較經(jīng)典的題型，第一問求橢圓的方程非常簡單，但是第二問難度就比較大了，把橢圓和拋物線結(jié)合起來，光看圖形就能感覺到題目很難，對學生來說比較復雜和繁瑣.但是利用幾何性質(zhì)等知識我們就可以很容易的把題目分析清楚，并解出答案.這道題考查的是學生對于幾何基本思想的掌握和一種綜合的解題技能.只要我們好好分析就不難發(fā)現(xiàn)這道題主要用到的知識點是橢圓、拋物線的幾何性質(zhì)，還有直線和橢圓拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識.

(2)如圖，我們可以先把M,N,P點的坐標設(shè)出來，設(shè)M點的坐標為(x1,y1),N點的坐標為(x2,y2),P點利用點斜式來表示就是(t,t2+h),根據(jù)這個條件我們可以知道，拋物線C2在點P處的切線斜率為k=2t，直線MN的方程為y=2tx-t2+h然后如果我們再把這個式子代入到橢圓C1的方程中去，就會得到一個方程組，

4x2+(2tx-t2+h)2-4=0

整理得，

①4(1+t2)x2-4t(t2-h)x+(t2-h)2-4=0.

然后圖中給出的另一個條件是直線MN與橢圓C1有兩個不同的交點.我們需要用這個條件來判斷Δ的正負，所以①式中Δ1=16[-t4+2(h+2)t2-h2+4]>0.

又因為從題目所給出的條件中我們可以看出來x4=x3,

∴t2+(1+h)t+1=0③,

∴Δ2=(1+h)2-4≥0.

解得h≥1或h≤-3

接下來我們來分情況進行分析，當h≤-3時，h+2<0，4-h2<0，在這種情況下不等式②不能成立，∴h≤-3不能成立，所以h≥1.很多人做到這一步就以為完成了，但是其實我們還需要把h=1代進去檢驗一下，看看結(jié)果是否正確，從而避免失誤.當h=1時，把它代入方程③式得t=-1，然后我們再把t=-1,h=1代入不等式②中去，可以成立，所以h的最小值是1.

通過完整的解題過程來看，這道題在解答過程中充分地利用了圓錐曲線的幾何性質(zhì)，具有很強的技巧性，通過對于幾何性質(zhì)的分析，思路清晰，過程比較簡單，對于簡化題目非常有幫助，再加上驗證過程，非常有利于降低做題失誤.

二、利用幾何性質(zhì)簡化最值問題

幾何法是圓錐曲線最值問題的基本解決方法之一，它的原理是通過分析幾何量之間的相互關(guān)系，利用平面幾何的知識得到解決方法.例如，我們可以利用拋物線上的點到某個定點和焦點的距離之和來構(gòu)建方程解決最值問題.幾何的性質(zhì)非常簡潔明了，相對于代數(shù)法而言，它有利與我們在做題中減少失誤，提高正確率.有些時候我們也可以將圓錐曲線的相關(guān)問題先轉(zhuǎn)化為平面幾何的相關(guān)問題，再利用平面幾何的知識，像對稱性、三角形的三邊相互關(guān)系、平行線間距離等進行解答.

例如：已知點M(3，2)，F(xiàn)為拋物線y2=2x的焦點，點P在該拋物線上移動，當|PM|+|PF|取最小值時，點P的坐標為____．

分析本題若建立目標函數(shù)來求|PM|+|PF|的最小值是困難的，若巧妙地利用拋物線定義，結(jié)合圖形則問題不難解決．

利用這種轉(zhuǎn)化為幾何性質(zhì)的方法來解答最值問題，能夠簡化解題步驟，提高解題效率，我們應該多加練習和運用.

圓錐曲線問題中經(jīng)常會遇到一些求極值的問題，今天給大家介紹的這兩種運用平面幾何性質(zhì)解決圓錐曲線最值問題的方法，經(jīng)過了深入的分析和大量的應用實踐，事實證明這是一種獨特但又并不離經(jīng)叛道的好方法，希望大家可以認真思考，舉一反三，有所收獲和飛躍.

參考文獻：

[1]程森旺. 圓錐曲線定義在解題中的應用[J].教育界,2010(25).

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