識別模型特征 選準概率公式

朱賢良 付朝華

(安徽省樅陽縣會宮中學 246740)

法國數學家拉普拉斯曾言：“生活中最重要的問題，絕大部分其實只是概率問題．”意即概率問題在現實生活中廣泛存在．在高中數學學習中，概率與統計也是六大核心知識板塊之一，分布在必修3與選修2-3(理科)、選修1-2(文科)兩冊書中．在數學高考中，概率與統計作為年年都考的穩定考點，一“大”一“小”的模式幾乎成為一種標準配置．

綜觀歷年全國各地高考試題，概率與統計部分的熱點與難點在于概率的計算．能否識別各種概率模型的典型特征，選擇適當的概率公式進行計算，直接決定著解題的成敗．本文結合部分典型問題對高中概率模型與公式作一整理，力求更準確、更有效地求解概率問題．

一、古典概型

例1 (2011年高考陜西卷·理10)甲乙兩人一起去游“2011西安世園會”，他們約定，各自獨立地從1到6號景點中任選4個進行游覽，每個景點參觀1小時，則最后一小時他們同在一個景點的概率是( ).

點評在解古典概型問題時，準確、合理地利用分類加法、分步乘法計數原理與排列組合知識計數是正確計算概率的關鍵所在．

例2 將3個不同顏色的小球隨機放入編號為1,2,3,4的四個盒中(可放入同一盒子中)，記有球盒子的最大編號為ξ，求隨機變量ξ的分布列．

解析本題中的試驗“將3個不同顏色的小球隨機放入編號為1,2,3,4的四個盒中(可放入同一盒子中)”共有43種不同的結果，即樣本空間中基本事件的總數為43，則有球盒子的最大編號ξ可能的取值為1,2,3,4．接著，需要考查事件“ξ=i(i=1,2,3,4)”所包含其中的基本事件數，故屬于古典概型問題．結合排列組合知識，求得對應的概率如下：

ξ1234P16476419643764

二、幾何概型

例3 (2012年高考遼寧卷·理10)在長為12 cm的線段AB上任取一點C．現作一矩形，鄰邊長分別等于線段AC,CB的長，則該矩形面積小于32 cm2的概率為( ).

點評解決幾何概型的難點在于如何建立起樣本空間、隨機事件與線段或平面區域或空間幾何體之間的對應關系．

三、概率的加法公式

如果隨機事件A包含n種互斥的情況A1,A2,…,An，即A=A1+A2+…+An(和事件，也可以寫成并事件)，則P(A)=P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)．

例4 (人教A版教材選修2-3第53題例2)一張儲蓄卡的密碼共有6位數字，每位數字都可以從0～9中任選一個．某人在銀行自動提款機上取錢時，忘記了密碼的最后一位數字，求：(1)任意按最后一位數字，不超過兩次就按對的概率；(2)如果他記得密碼的最后一位是偶數，不超過2次就按對的概率．

點評概率的加法公式P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)成立的前提是事件A1,A2,…,An兩兩互斥．第(2)問還可以看成是條件概率問題，課本就是運用條件概率公式來求解的．

四、條件概率

例5 (2014年高考全國Ⅱ卷·理5)某地區空氣質量監測資料表明，一天的空氣質量為優良的概率是0.75，連續兩天為優良的概率是0.6，已知某天的空氣質量為優良，則隨后一天的空氣質量為優良的概率是( ).

A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45

點評求解條件概率，就必須先弄清楚前提事件與目標事件，再選用條件概率公式進行計算．

五、概率的乘法公式

(1)求甲恰用4局贏得比賽的概率；

(2)記X為比賽決出勝負時的總局數，求X的分布列和均值(數學期望)．

X2345P59291081881

點評簡單地理解，當事件A包含A1,A2,…,An這些情況時，P(A)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)，前提是A1,A2,…,An中兩兩互斥；當事件A發生相當于A1,A2,…,An同時發生時，P(A)=P(A1)P(A2)…P(An)，前提是A1,A2,…,An中兩兩獨立．

六、獨立重復試驗模型

解析事件“牛牛同學恰好答對其中2道題”包含了3種情況：牛牛同學答對2道甲類題，0道乙類題；牛牛同學答對0道甲類題，2道乙類題；牛牛同學答對甲類題與乙類題各1道．分別記三個事件為A,B,C，則牛牛同學恰好答對其中2道題的概率為P=P(A)+P(B)+P(C)．

點評準確識別獨立重復試驗模型是正確求解的關鍵，比如本題中答3道甲類題就相當于將答甲類題這一試驗重復3次，答2道乙類題就相當于將答乙類題這一試驗重復2次．

七、對立事件的概率

例8 創辦于1999年的農心杯世界圍棋團體錦標賽是世界上水平最高的圍棋團體賽，每年一屆，每屆由中國、日本和韓國各派出5名棋手，采用擂臺賽的方式，三國棋手輪番上陣，最后留在擂臺上的隊伍獲得冠軍．已知某屆比賽進行到最后階段時，中、日、韓三國分別還剩下3、0、1位棋手，且中國三位棋手對局韓國棋手獲勝的概率分別為p1,p2,p3，則中國隊獲得冠軍的的概率為 ．

點評若從正面求解，則需要運用概率的乘法公式和加法公式，求得中國隊獲得冠軍的的概率為P(A)=p1+(1-p1)p2+(1-p1)(1-p2)p3，兩種計算的結果整理后是一致的．

參考文獻：

[1]朱賢良.聚焦含單量詞的不等式恒成立問題[J]. 河北理科教學研究，2013(6)：19-21．

[2]蘭琦.高考數學壓軸題的分析與解[M].杭州：浙江大學出版社,2016．