多角度探究數(shù)列通項(xiàng)公式

祝一丹

(河北省衡水第一中學(xué) 053000)

通項(xiàng)公式是數(shù)列的重要內(nèi)容，也是高考的必考知識(shí)點(diǎn)，既考查運(yùn)算求解能力，又考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.下面通過(guò)數(shù)列典型問(wèn)題加以說(shuō)明.

題目在數(shù)列{an}與{bn}中，a1=1,b1=4,數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和{Sn}滿足nSn+1-(n+3)Sn=0，2an+1為bn與bn+1的等比中項(xiàng)，n∈N*.(1)求a2,b2的值；(2)求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式.

探究一：抓特征，利用數(shù)學(xué)歸納法求an與bn

注意到待求問(wèn)題是一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，故可以嘗試用數(shù)學(xué)歸納法證明.數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法，在高等數(shù)學(xué)中有著重要的用途.不但能用數(shù)學(xué)歸納法去證明現(xiàn)成的結(jié)論，而且也注重不完全歸納法應(yīng)用的考查，既要求歸納發(fā)現(xiàn)結(jié)論，又要求能證明結(jié)論的正確性，因此，初步形成“觀察——?dú)w納——猜想——證明”這一特殊到一般的推理方法的思維模式，顯得特別重要.突破難點(diǎn)的關(guān)鍵是掌握由k到k+1的推證方法，證明代數(shù)恒等式的關(guān)鍵是：第二步將式子轉(zhuǎn)化成與歸納假設(shè)的結(jié)構(gòu)相同的形式——湊假設(shè)，然后利用歸納假設(shè)，經(jīng)過(guò)恒等變形，得到結(jié)論所需要的形式——湊結(jié)論.

由題設(shè)kSk+1=(k+3)Sk,(k-1)Sk=(k+2)Sk-1,兩式相減整理得kak+1=(k+2)ak，

再用數(shù)學(xué)歸納法證明bn=(n+1)2，n∈N*.

①當(dāng)n=1時(shí)，b1=4=(1+1)2，等式成立.

根據(jù)①②可知等式bn=(n+1)2對(duì)任何的n∈N*成立.

探究二：構(gòu)造對(duì)稱式，累乘法求an，迭代法求bn

構(gòu)造對(duì)稱式是學(xué)習(xí)數(shù)列過(guò)程中非常常見(jiàn)的一種方法，其應(yīng)用廣泛，對(duì)能力要求較高.因此，平時(shí)的學(xué)習(xí)中要有意識(shí)地積累相關(guān)方法，形成解題經(jīng)驗(yàn).看到此題設(shè)，首先觀察條件等式的特點(diǎn)：含有同一個(gè)數(shù)列的不同的兩項(xiàng)，而且是與和Sn有關(guān)的，如何消去Sn得到an的關(guān)系式呢？于是考慮通過(guò)賦值構(gòu)造對(duì)稱式，進(jìn)行減法運(yùn)算，走“累乘法”之路求得an；如果注意到bn的恒等式中也含有不同的兩項(xiàng)，依葫蘆畫瓢，通過(guò)賦值構(gòu)造對(duì)稱式，進(jìn)行除法運(yùn)算，走“迭代法”之路可順利求得bn.通常情況下，如果一個(gè)等式中含有同一個(gè)數(shù)列的不同的兩項(xiàng)時(shí)，可以采用構(gòu)造對(duì)稱式的方法實(shí)施轉(zhuǎn)化，往往會(huì)收到意想不到的效果.

由題設(shè)nSn+1=(n+3)Sn,(n-1)Sn=(n+2)Sn-1,兩式相減整理得nan+1=(n+2)an,n≥2，

探究三：巧變形，作差法求an，換元法求bn

總的來(lái)看，求數(shù)列的通項(xiàng)公式題難度并不大，但內(nèi)涵卻特別豐富.在遇到一個(gè)具體的數(shù)列問(wèn)題時(shí)，到底應(yīng)采用哪種解題策略更有效，還應(yīng)依據(jù)題目的特點(diǎn)，憑借平時(shí)的積累，具體問(wèn)題進(jìn)行具體分析.

參考文獻(xiàn)：

[1]葉正波.探究遞推數(shù)列通項(xiàng)公式求法的實(shí)質(zhì)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究, 2012(13).