函數多元問題的解法探究

張笑晗

(河北省辛集中學 052360)

題目已知函數f(x)=axlnx(a≠0)，

(1)求函數f(x)的單調區間和最值；

(2)若m>0,n>0,a>0,證明：f(m)+f(n)≥f(m+n)-a(m+n)ln2.

分析本題是一道導數的練習題，數量關系看似簡單，實質上不盡然.第(1)問考查利用導數確定含參函數的單調性和最值，屬常規題型；第(2)問考查含有多個參變量的不等式的證明，初讀題目往往會感到無從下手或陷入繁瑣的運算之中.解題的關鍵有兩個轉化難點：一是參數a如何分類討論，二是三個參數m、n、a向哪個方向轉化.筆者從不同的角度去思考問題，探究多種解法.

解法探究(1)求函數f(x)的單調區間和最值

(2)若m>0,n>0,a>0.證明：f(m)+f(n)≥f(m+n)-a(m+n)ln2.

解法一：直接賦值構造函數

對于證明與函數有關的含多個參變量的不等式時，常常需要構造輔助函數，通過求導研究其單調性或尋求其幾何意義來解題.題目本身特點不同，所構造的函數可有多種形式，解題的繁簡程度也因此而不同.正確分析函數不等式的結構，恰當構造函數成為解題的突破口.

通過分析題目條件，發現涉及的三個函數f(m)、f(n)、f(m+n)中都含有參變量a，提取公因式結合a的取值范圍進而定號，只剩兩個參變量m和n，可以考慮將其中一個參變量賦值x，另一個看成常數，構造出新函數，問題就迎刃而解了.

∴g′(x)≤0，g(x)單調遞減.

∵m≥x>0，∴g(x)≥g(m)=0，

即f(m)+f(n)≥f(m+n)-a(m+n)ln2.

解法二：統一變量構造函數

在數學解題過程中，如果我們總是能嘗試以不同的視角分析并解決同一個問題，會幫助我們理解知識之間的關聯，對學習產生積極的作用.消元構造函數是解決含多變量函數的一種有效方法，通過消元這一方法的實施，求解問題的思路也就逐漸明朗起來，從而使問題得以順暢解決.實際上，我們可以通過確定兩個參變量m和n之間的比例關系，統一成一個變量代入求解，構造出新函數，討論也就有了方向.

不妨設m≥n>0,則m=kn(k≥1).

左邊-右邊=a[mlnm+nlnn+(m+n)ln2-(m+n)ln(m+n)]

∴g(k)在k∈[1,+)上單調遞增，∴g(x)≥g(1)=0.

又∵n>0,a>0,∴左邊-右邊≥0，

即f(m)+f(n)≥f(m+n)-a(m+n)ln2.

解法三：借琴生不等式構造函數

琴生不等式(也稱為詹森不等式)：

(1)設f(x)為凸函數，對于其定義域上的n個數x1,x2,…,xn，都有

(2)設f(x)為凹函數，對于其定義域上的n個數x1,x2,…,xn，都有

通常情況下用初等方法判斷函數的凹凸性比較麻煩，不過如果利用數學分析我們可以有個非常方便的結論：

如果f(x)二階可導,且f″(x)≥0,那么是下凸函數(凸函數);

如果f(x)二階可導,且f″(x)≤0,那么是上凸函數(凹函數).

有了這個結論以后,使用琴生不等式就非常方便了.解題關鍵是對不等式形式的結構特征有嚴格要求，識別是前提，轉化靠聯想.

參考文獻：

[1]趙優良.例析多元參數的函數綜合問題解法[J].中學生數學，2017(03).