對教材所給公式的證明

王瑋珅

(黑龍江省實驗中學 150000)

高中數學教材(人教版)中(下文簡稱“教材”)，對于一些常用的基本數學公式，教材以定理形式給出或略微提及，卻并未給出其推理證明的相關過程.筆者通過高中數學知識(考綱內)對其中一部分公式、結論加以證明.希望以此能夠激發同學們的數學自主學習興趣與發散性思維，并提高一定的獨立思考和數學知識的實際運用能力.

一、數列部分

運用數學歸納法雖然可以輕松證明上式成立，但在公式未知時卻無法獲得此結論.現在，我們探究如何直接推導出此公式.

[討論1]求數列an=n2(n∈N*)的前n項和

首先，我們構造一個等差數列{bn}，令bn=2n-1(n∈N*).

由于b1+b2+…+bn=n2，(n-1)bn=(n-1)(2n-1)=2n2-3n+1,

∴證畢.

上述思想主要是通過構造新數列，使通項逐項相加后能構造出n項和的倍數，以解出求和公式.

二、立體幾何部分

首先，我們想一想求解該問題的思路，在垂直于底面的方向上，也就是高的方向上，每一點所對應的椎體橫截面積隨高度變化而變化，且有函數規律.然后，我們就可以利用定積分知識類比計算平面圖形面積來計算體積.

如圖1，三棱錐S-ABC，SO為高線，做任意平行于ABC且頂點分別在三條棱上的三角形A′B′C′交SO于點M.

把x看為自變量，S△A′B′C′為因變量，則上式為S△A′B′C′與x間函數關系，而體積VS-ABC則可以看作上述函數，自變量x從0到h區域內的定積分.

同理，四棱錐、圓錐等也可以類似這樣證明.

先看一個半球(圖2)，與[討論1]思路相同， 我們只需要先得出與底面平行，半球相交的圓面積與其底面距離的函數關系，即可求出半球面積，從而到球體面積.

所以S′=πr′2=π(r2-x2).

三、導數部分

教材導數章節內容，給出了一些基本初等函數的導數公式，其中大多公式可用高中數學知識證明.下文只給出“若f(x)=xa(a∈N*)，則f′(x)=axa-1的證明.

[討論1]設函數f(x)=xa(a∈N*)，求其導函數f′(x).

這個問題很容易證明，只要代入二項式定理即可.

[討論2]求函數f(x)=sinx的導函數f′(x)

通過對教材內基本公式的證明，在一定程度上能夠開拓并啟發學生對數學學科的認知與數學思維，使學生能清晰、明了所學知識間的聯系，提高自身主動思考行動能力與探究性創新能力.

參考文獻：

[1]郭立軍.對高中數學新教材第一冊(上)的研究[D].長春：東北師范大學，2003.