介紹立體幾何中的一個有用結論

甘志國

(北京市豐臺二中 100071)

在立體幾何中有下面的一個有用結論：

圖1

結論若兩個相交平面內各有一條直線(均不是這兩個平面的交線)互相平行，則這兩條平行直線均與這兩個平面的交線平行.

證明如圖1所示，a?α,b?β,α∩β=l，a與l不重合，b與l也不重合，a∥b，下證a∥l.

由a?β，b?β,a∥b，得a∥β.

再由a?α,α∩β=l，得a∥l.

題1 證明：若一條直線與兩個相交平面都平行，則這條直線與這兩個相交平面的交線平行.

證明如圖2所示，α∩β=l,c∥α,c∥β，下證c∥l.

圖2

過直線c作平面γ,δ分別與平面α,β交于a,b.由c∥α可得c∥a，同理c∥b，所以a∥b∥c.再由上面的結論，得a∥b∥l，所以c∥l.

題2 證明：若一個平面和兩個相交平面都垂直，則這個平面和這兩個相交平面的交線垂直.

證明如圖3所示，α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l，下證l⊥γ.

因為α⊥γ,β⊥γ，所以可分別在α,β內作直線a⊥γ,b⊥γ，所以a∥b.再由上面的結論，得a∥b∥l，所以l⊥γ.

圖4

解如圖4，由AB∥CD及上面的結論，得平面VAB與平面VCD的交線l∥AB∥CD.設AB,CD的中點分別為E,F，可得∠EVF就是二面角B-l-C的平面角.可得正△VEF，所以∠EVF=60°，即所求答案為60°.

題4 如圖5所示，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，∠DAB=60°,AD=AA1,F,M分別是AA1,BD1的中點.

(1)求證：FM⊥面BDD1B1；

(2)求面BFD1與面ABCD所成銳二面角的大小.

圖5 圖6

解(1)如圖6所示，設AC∩BD=O，連結OM，可得FM∥AO,AO⊥面BDD1B1，所以FM⊥面BDD1B1.

(2)由FM∥AO及上面的結論，得面BFD1與面ABCD的交線l∥FM∥AO，進而可得∠D1BD=45°為所求二面角的大小.

題6 (2016年高考全國卷Ⅰ文科、理科第11題)平面α過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，則m,n所成角的正弦值為( )

解A.如圖7所示，因為平面α∥平面CB1D1，所以平面α與平面ABCD的交線m平行于平面CB1D1與平面ABCD的交線l.

圖7

因為在正方體中平面ABCD平行于平面A1B1C1D1，BD∥B1D1，所以由上面的結論可得l∥B1D1，再得m∥B1D1.

同理，n平行于平面CB1D1與平面ABB1A1的交線．

因為平面ABB1A1∥平面CDD1C1，所以平面CB1D1與平面ABB1A1的交線平行于平面CB1D1與平面CDD1C1的交線CD1，所以n∥CD1.

所以m，n所成的角即為B1D1，CD1所成的角.

圖8

題7 (2013年高考湖北卷理科第19(1)題)如圖8，AB是圓的直徑，點C是圓O上異于A，B的點，直線PC⊥平面ABC，E，F分別是PA，PC的中點.記平面BEF與平面ABC的交線為l，試判斷直線l與平面PAC的位置關系，并加以證明.

解如圖8所示，由EF∥AC及上面的結論，得l∥AC，所以直線l∥平面PAC.

圖9

題8 (2013年高考安徽卷理科第19(Ⅰ)題)如圖9，圓錐頂點為P.底面圓心為O，其母線與底面所成的角為22.5°.AB和CD是底面圓O上的兩條平行的弦，軸OP與平面PCD所成的角為60°.證明：平面PAB與平面PCD的交線平行于底面.

解由AB∥CD及上面的結論，得平面PAB與平面PCD的交線平行于AB，進而可得欲證.

參考文獻：

[1]人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心. 普通高中課程標準試驗教科書( 必修)數學4(A版)[M]. 北京:人民教育出版社,2014.