坐標系與參數方程的命題特點及解法探略

張 興 李雪琴

(寧夏回族自治區固原市第二中學 756000)

坐標法思想是近代數學發展的開端，坐標系是用代數方法處理幾何問題的基本工具.參數方程是以參變量為中介表示曲線方程的又一種形式，更解決曲線方程的一種思路和方式，所以坐標系與參數方程的學習，是提高學生解決數學問題能力，提升學生綜合數學素養的重要途徑之一，因此成為高考數學的必考內容之一，下面就其高考的試題的命題特點及其解答方法進行探究.

一、高考試題的命題特點

從2007年到2016年新課標高考共15套數學試題，其中關于極坐標與參數方程的有15道考題.它們的相同之處都涉及坐標變換，即直角坐標系方程、極坐標方程、參數方程的互相轉化.它們的不同之處，按已知曲線化分：第一類，直線和圓位置關系的有2016(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)、2015(Ⅰ)(Ⅱ)、2013(Ⅰ)(Ⅱ)、2011、2010、2008共10道.其中包括直線和圓相離時的點線距離問題，直線和圓相交時的弦長問題，直線和圓相切時的切點問題.第二類，直線與橢圓2012、2014(Ⅰ)共2道.第三類，園及橢圓位置關系如2007、2009、2014(Ⅱ)共3道.從統計數字上看以直線和圓位置關系為主.按所求問題劃分：第一類，有關交點坐標、線段長度和圖形面積，如2007、2008、2012、2013(Ⅰ)、2014(Ⅱ)共5道.第二類，有關距離、范圍或最值問題，如2009、2011、2012、2014(Ⅱ)、2015(Ⅱ)、 2016(Ⅰ)、2016(Ⅰ)、2016(Ⅲ)共8道.第三類，有關點的軌跡、曲線方程，如2010、2013(Ⅱ)共2道.從統計數字上看以有關距離、范圍或最值計算問題為主.

二、高考試題的題型解析

高考試題按解答方法劃分：第一類，極坐標中的運算.第二類，參數方程中任意點或動點問題.第三類，直線與圓錐曲線相交問題.第四類，點的坐標、線段長度、圖形面積、軌跡方程等的計算.

1.極坐標中的運算

解析(1)把變換公式x=ρcosθ,y=ρsinθ，代入C1、C2的已知方程，得C1：ρcosθ=-2，C2：ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0.

∴C1為以(0，1)為圓心，a為半徑的圓.化簡即為x2+y2-2y+1-a2=0.

把x2+y2=ρ2,y=ρsinθ代入上式，得C1的極坐標方程ρ2-2ρsinθ+1-a2=0.

(2)C2:ρ=4cosθ兩邊同乘ρ，得ρ2=4ρcosθ.∵ρ2=x2+y2，ρcosθ=x,∴x2+y2=4x.配方即得(x-2)2+y2=4 ②，C3:化為普通方程為y=2x.

由題意：C1和C2的公共方程所在直線即為C3

①-②得：4x-2y+1-a2=0,即為C3，∴1-a2=0,∴a=1.

二、任意點或動點用參數方程

其中C1為圓心是(-4,3)，半徑是1的圓.

C2為中心是坐標原點，焦點在x軸上，長半軸長是8，短半軸長是3的橢圓.

評析上面例3的第一問為參數方程化為普通方程.解答這類題需注意：

(1)要注意防止變量x和y取值范圍的擴大或縮小，必須根據參數的取值范圍，確定x和y的取值范圍.

(2)消去參數通常有代入消元法、加減消元法、平方消元法、乘除消元法和三角消元法等.第二問為求最值或取值范圍.解答這類題需要把曲線方程化為參數形式，以參數方程形式表示點的坐標，既可以減少約束條件而簡化運算，又能利用特殊的三角變換進行計算.

三、直線與圓錐曲線相交問題

解析(1)化簡、整理圓的方程得x2+y2+12x+11=0.

解析(1)ρ=2cosθ等價于ρ2=2ρcosθ. ①

將ρ2=x2+y2，ρcosθ=x代入①,

即得曲線C的直角坐標方程為x2+y2-2x=0.

②

則由參數t的幾何意義即知，|MA|·|MB|=|t1t2|=18.

評析上面例4、例5均為直線與圓錐曲線相交.第二問的解答均為直線參數方程代入圓錐曲線方程中，轉化為關于參數的一元二次方程，利用根與系數的關系及參數的幾何意義使得問題得到解答.解答這類問題需要注意：(1)過P0(x0，y0)且傾斜角為α的直線參數方程為x=x0+tcosα,

四、求點坐標、線段長度、圖形面積、軌跡方程等的計算

(2)C1的普通方程為xsinα-ycosα-sinα=0.A點坐標為(sin2α-cosαsinα)，

評析上面例6為求點的坐標和軌跡方程.2015年理Ⅰ卷23題為求面積.這類題問題雖然差別很大，但其解答的基本方法依然是幾種坐標的互化，再結合圖形進行計算.

綜上所述，坐標系與參數方程的命題，以直線與圓的位置關系為主，突出極坐標方程、直角坐標非常和參數方程的轉化，呈現為四大趨勢，即極坐標中的運算，參數方程中任意點或動點問題，直線與圓錐曲線相交問題，交點坐標、線段長度、圖形面積、軌跡方程等基本數學問題.通過解題活動理解坐標系的作用，掌握幾種坐標方程的轉化，提高數學應用意識和解決問題的能力.體現數學的科學價值、應用價值和文化價值，更重要的是提升學生的綜合數學素養.

參考文獻：

[1]王新宏.高考坐標系與參數方程難點透析[J].數理化解題研究，2016(11)：2-3.

[2]劉紹學等，普通高中課程標準實驗教科書·數學選修4-4[M].北京：人民教育出版社，2007(02).