盤點坐標系與參數方程模塊最值問題的求解方法

卜大海

(廣東省汕頭市澄海蘇北中學 515829)

坐標系與參數方程模塊是新課標高考的選做考點，而最值問題又是該模塊的高頻考點，對于新加入新課標高考省份的師生來說，其命題形式和考試風格與以往自主命題時大不相同.本文總結了坐標系與參數方程模塊最值問題的常見求解方法，希望對廣大備考的師生有所啟發和幫助.

一、應用曲線的參數方程進行三角換元求最值

(1)寫出C1的普通方程和C2的直角坐標方程；

(2)設點P在C1上，點Q在C2上，求|PQ|的最小值及此時P的直角坐標.

評注本題是2016年新課標丙卷第23題，破解此題關鍵在于利用點P參數形式的直角坐標將解析幾何的最值問題轉化為三角函數的最值問題.

(2)求橢圓C的內接矩形ABCD面積的最大值.

故橢圓C的內接矩形ABCD面積的最大值為30.

二、化歸為二次函數，運用二次函數的特性求最值

(1)寫出圓C的直角坐標方程；

(2)P為直線l上一動點，當P到圓心C的距離最小時，求P的直角坐標．

故當t=0時，|PC|取最小值，此時P點的直角坐標為(3,0).

評注題目中說P為直線l上一動點，動點從何而得？本題告訴我們一個重要的解題經驗——需要動點坐標時我們可以向曲線的參數方程“借”.

(1)求圓C的普通方程和參數方程；

(2)已知圓C上一動點P(x,y)，求xy的最大值和最小值.

x2+y2-4x-4y+6=0，即(x-2)2+(y-2)2=2.

評注第二問為什么會想到將此題化為二次函數求最值呢？事實上是因為“冪次”暴露了本題的求解思路，題目中的sinα+cosα是1次冪，而sinαcosα是2次冪，具有典型二次函數結構，本題也給我們提供了一條換元經驗和一個解題技巧.

換元經驗：遇到含有sinα±cosα和sinαcosα的函數通常作如下換元：

解題技巧：三角函數求最值用什么方法，要看冪次說話，例如，y=cos2x+sinxcosx各項冪次均相同，可降冪結合引入輔助角公式化為三角函數最值問題，而y=cos2x+sinx這類含有2次冪，1次冪的函數，則化為二次函數求最值.

三、運用圓的幾何對稱特性求最值

(1)求曲線C2的直角坐標方程；

(2)若P,Q分別是曲線C1和C2上的任意一點，求|PQ|的最小值.

評注本題不僅用到了前面提到二次函數求最值，而且還使用了幾何對稱思想，即利用圓的對稱性求最值.運用圓的幾何對稱特性求取值范圍時常用到以下結論：

結論一：已知圓O的半徑為r，圓O上一點到與其相離的直線l的距離為d，圓心到該直線的距離為d0，則dmax=d0+r，dmin=d0-r.

結論二：已知圓O的半徑為r，圓上一點到圓外一點A的距離為d，圓心到點A的距離為d0，則dmax=d0+r，dmin=d0-r.

結論三：設圓A上一點到圓B上一點的距離為d，兩圓半徑分別為r1,r2，兩圓圓心之間的距離為d0，若兩圓相離，則dmax=d0+r1+r2，dmin=d0-r1-r2.

(1)求圓心C的直角坐標；

(2)由直線l上的點向圓C引切線，求切線長的最小值．

評注圓的幾何最值問題圍繞“圓心”思考，往往會讓問題柳暗花明.本題第二問直接求解很難入手，若考慮直線l上的點到圓心的距離的最小值，則問題迎刃而解.

四、利用基本不等式求最值

例7 在極坐標系中，已知曲線C1：ρ=2cosθ和曲線C2：ρcosθ=3，以極點O為坐標原點，極軸為x軸非負半軸建立平面直角坐標系.

(1)求曲線C1和曲線C2的直角坐標方程；

(2)若點P是曲線C1上一動點，過點P作線段OP的垂線交曲線C2于點Q，求線段PQ長度的最小值.

解析(1)C1的直角坐標方程為(x-1)2+y2=1，C2的直角坐標方程為x=3，

(2)設曲線C1與x軸異于原點的交點為A,由PQ⊥OP,可知PQ過點A(2,0),

代入C1可得t2+2tcosθ=0,解得t1=0或t2=-2cosθ.

評注本題的解題關鍵在于設出直線PQ的參數方程及利用數形結合的思想得到|PQ|=|AP|+|AQ|，那么再面對基本不等式得最值就信手拈來了.

參考文獻：

[1]張文玫.例談高中選修4-4參數方程的應用[J].語數外學習(高中數學教學),2014(11):61-61.

[2]吳偉泉等.數學選修4-4坐標系與參數方程[M].北京：人民教育出版社，2005.