柯西不等式的推論的應用

劉振興

(廣東省佛山市第一中學 528000 )

一、柯西不等式及其推論

柯西不等式:設ai,bi∈R(i=1,2,…,n),則

當且僅當ai=λbi(i=1,2,…,n)時,等號成立.

推論1:設ai,bi∈R+(i=1,2,…,n),則

當且僅當ai=λbi(i=1,2,…,n)時,等號成立.

二、柯西不等式的推論的應用

由推論1得

∴a2+b2+c2+d2+(a+b+c+d)2

對例1可進行維數的推廣.

維數的推廣:

設ai∈R(i=1,2,…,n),

證明根據柯西不等式，類似例1過程得

在解決有些不等式問題時,我們要多次使用柯西不等式的推論.

解由推論1得

令a2+b2+c2=x,

由推論1得

所以f(x)在[3,+)上單調遞增.

對例2可進行如下推廣.

(1)維數的推廣:

(2)冪的推廣:

(3)線性推廣:

綜合(1),(2),(3)可得一般性推廣,并給出證明.

證明由推論1得

參考文獻：

[1]卓書月.柯西不等式及其變式的應用[J].民營科技,2011(9):78,162.