反基礎模型論解悖方法探析

趙 鵬

（河南工業大學馬克思主義學院，河南鄭州 450001）

“邏輯學家憎恨歧義但是喜歡悖論。”［1］3兩千多年來，悖論一直以其自身的巨大魅力吸引著眾多學者的研究興趣。20世紀80年代，非良基集合論的興起為學者們研究悖論問題提供了一個新視角。1987年，巴威斯（Jon Barwise）和艾克曼迪（John Etchemendy）在《說謊者：論真和循環》一書中把超集理論應用于情境語義學，創立了情境語義學解悖方案，用奧斯汀型闡釋相對合理地解決了說謊者悖論和被稱為語義學黑洞的強化的說謊者悖論。1996年，巴威斯和莫斯（Lawrence Moss）在《惡性循環：非良基現象的數學》一書中把超集理論應用于模型論，構造了解悖的數學框架——反基礎模型論，其采用的方法可稱之為反基礎模型論解悖方法［2］100。

本文基于反基礎模型論的基本理論，以說謊者悖論、強化的說謊者悖論、佐丹卡片悖論這三個包含真謂詞的自指悖論為例，不僅重點闡釋和具體說明了反基礎模型論解悖方法的巧妙之處，同時還指出反基礎模型論解悖方法揭示了悖論產生的根源，以及這一理論在消解其他自指的語義悖論（如指稱悖論）方面所獨具的價值。

一、反基礎模型論的基本理論

巴威斯和莫斯使用了部分模型和克里尼三值邏輯的一些概念和結論。他們用Rel表示關系符號的集合，用Const表示常量的集合，用Var表示變量的集合。同時假定Rel∩Const∩Var＝?，Var是無窮的，Rel中每一個關系符號R都有一個確定的元數，說明R是一個n元的關系符號，n為大于零的自然數。語句是通過邏輯聯結詞 、和?作為初始符號構造起來的。

定義1（部分模型） 一個部分模型M是一個滿足下列條件的六元組〈DM，LM，ExtM，AntiM，dM，cM〉：

（1）DM是一個非空集合，稱作M的定義域；

（2）LM?Rel∪Const，稱作 M的語言；

（3）ExtM和AntiM是定義在LM∩Rel上的兩個函數，并且滿足條件：對于每一個n元關系符號R∈LM，ExtM（R）和AntiM（R）是DM上兩個不相交的n元關系，分別稱它們為R在M中的外延和反外延；

（4）dM是從LM∩Const到DM上的一個映射；如果dM（c）＝b，則稱b為常項符號 c在M中的指派；

（5）M的情境cM是從Var的一個子集到DM上的一個映射；如果cM（v）＝b，則稱b為變項符號 v在M中的指派。

t在模型M中的指派記作denM（t）。如果t是一個常項，則稱t在模型M中的指派為dM（t）；如果t是一個變項，則稱t在模型M中的指派為cM（t）。如果語句φ中的每一個常項和變項在M中都有一個指派，那么我們說φ在M中被定義，用Def（M）表示M中被定義的語句集。如果模型M的定義域DM中的一個元素b在denM的值域中，那么我們說b在模型M中被命名。對于任意一個這樣的b，我們使用去表示任意一個常量或變量在 M中的指派為 b。即，denM（）＝b，是任意一個常量或變量。需要注意的是，對于一個給定的b，是什么依賴于我們要考慮的模型M。即使M是一個固定的模型，也未必是唯一的。

定義2（全模型） 一個全模型是建立在一個部分模型M上并要求M中的元素LM滿足下列條件：

（1）對LM中的任意n元關系符號R和M的定義域DM中的任意n個元素m1，…，mn組成的n元有序組〈m1，…，mn〉，〈m1，…，mn〉∈ExtM（R）∪AntiM（R）；

（2）LM中的每一個常項符號c在M中都有指派。

有兩種擴大部分模型的方法。其一，是在保持部分模型M的定義域DM不變的基礎上進行擴充；其二，是擴張部分模型的定義域DM。先看前者。

定義3 如果滿足下列條件，則把模型M2稱作模型M1的擴充，記作M1?M2：

（1）模型M1和模型M2的定義域相同；

（2）模型M1的語言是模型M2的語言的子集；

（3）對于每一個關系符號R∈LM1，R在M1中的外延和反外延分別是R在M2中的外延和反外延的子集；

（4）模型M1的指派函數是模型M2的指派函數的子函數；

（5）模型M1的語境是模型M2的語境的子函數。

用這種方法，可以將任意一個模型擴充成一個定義域保持不變的全模型。

定義4 如果模型M2是模型M1的擴張，記作M1M2，必須滿足條件：

（1）模型M1的定義域是模型M2的定義域的子集；

（2）其他條件與M1?M2的相同。

有了模型，就需要考慮語句在模型中為真的問題。一個語句φ在全模型M中為真的定義，仍然采用的是標準賦值定義。一個語句φ在部分模型M中為真的定義，采用的是克里尼的三值賦值。

定義5（克里尼賦值） 對于模型M和M中定義的語句φ，定義M?φ和M?－φ如下：

如果φ是原子語句，即φ＝R（m1，…，mn），那么

M? φ當且僅當〈m1，…，mn〉∈ExtM（R）；

M? －φ當且僅當〈m1，…，mn〉∈AntiM（R）。

如果φ是合式語句，那么

M? φ當且僅當M?－φ；

M?－ φ（當且僅當M?φ；

M?（ψ1ψ2）當且僅當M?ψ1M?ψ2；

M?－（ψ1ψ2）當且僅當M?－ψ1M?－ψ2；

命題1 如果M是一個全模型并且φ∈Def（M），那么M? φ當且僅當Mφ。

證明：通過對語句φ的結構歸納證明可得，Mφ當且僅當M?－φ。由定義5，M? φ當且僅當M?－φ，所以M? φ當且僅當Mφ。

命題2 令模型M2是模型M1的擴充（或擴張）。如果M1?φ，那么M2?φ。類似地，如果M1?－φ，那么 M2? －φ。

證明：通過對語句φ的結構歸納可證。

推論1 不存在模型M和語句φ使得M?φ并且M?－φ。

證明：用反證法。假定存在模型M和語句φ，使得M?φ并且M?－φ。令模型N是模型M的全擴充（或擴張），即N是一個全模型，由命題2可得，N?φ并且N?－φ。由定義5，M? φ當且僅當M?－φ，可得，N?φ并且N? φ。但是對全模型N，根據命題1，Nφ當且僅當N? φ。這與N?φ并且N? 相矛盾，所以假設不成立，命題得證。

如果M是一個部分模型，那么M? φ和Mφ二者有很大的不同。例如，如果常量c在M中沒有指派，那么R（c）在M中不為真，即MR（c）；同樣，R（c）在 M中也不為假，即 M－R（c）。由定義 5，M? R（c）等價于M? －R（c）。

定義6 如果Mφ，那么語句φ在模型M中不為真。相反，如果M? φ，那么語句φ在模型M中為假。

由上述定義可得，如果φ在模型M中為假，那么φ在模型M中不為真。這里，模型M既可以是部分模型，也可以是全模型。如果φ在模型M中不為真，那么φ在模型M中為假。這里，模型M只能是全模型。

模型的定義域中的元素可以是任何事物，尤其可以是本元、L的語句和L的模型。這就允許我們把語言限定為包含語義謂詞的語言，像真謂詞和指稱謂詞。巴威斯和莫斯受到可及世界和自返集合這兩個概念的啟發，給出了可及模型和自返模型的定義。

定義7 如果模型N是模型M的定義域DM中的一個元素，我們稱模型N在模型M中是可及的。如果M可及自身，即M自身是其定義域中的元素，我們稱模型M是自返的。

根據廣義解引理，每一個模型都可以擴張為一個自返的全模型。

二、給語言增加真謂詞

前面，我們建立了處理語義悖論的數學框架，因為要分析和真謂詞有關的幾個悖論，還需要在已有的語言中增加一個表示真的二元謂詞：True。True（x，y）表示語句x在模型中y為真，通常將True（x，y）記作 Trueyx。對于一個固定的模型 M，用 True（a，b）表示〈a，b〉∈ExtM（True），False（a，b）表示〈a，b〉∈AntiM（True）。為了讓謂詞True表達“真”，可以增加如下條件：

如果M是一個全模型，那么對于所有的φ，N∈DM，

（T0）True（φ，N）當且僅當 N是一個模型，φ∈Def（N）并且 N? φ。

條件（T0）是塔斯基T-模式的一個版本。如果M是一個部分模型，令（T1）是（T0）從左到右的方向，即：

（T1）如果 True（φ，N），那么 N是一個模型，φ∈Def（N）并且 N? φ。

因為一個條件一定在True的外延中，所以條件（T1）總是成立。但是，True的反外延有兩種可能性，即（T2）和（T3）。

（T2）如果 N是一個模型，φ∈Def（N），并且 False（φ，N），那么 N? －φ。

（T3）如果 N是一個模型，φ∈Def（N），并且 False（φ，N），那么 Nφ。

如果 M和 N是全模型，那么（T2）和（T3）都等價于（T1）的逆。即，（T0）等價于（T1）和（T2）的合取，或者（T0）等價于（T1）和（T3）的合取。但是，如果M是部分模型，那么（T2）和（T3）這兩個條件則有很大的不同。（T2）的意思是說“語句φ在模型N中為假”，（T3）的意思是說“語句φ在模型N中不為真”。

在《說謊者：論真和循環》一書中，巴威斯和艾克曼迪提出了關于悖論的兩種不同的闡釋，即羅素型闡釋和奧斯汀型闡釋。在這里，羅素型闡釋對應于條件（T2），而奧斯汀型闡釋則對應于條件（T3）。

定義8 令M是一個模型。

（1）對于所有的語句φ∈DM和所有的模型N∈DM，模型M如果滿足條件（T1）和（T3），那么M是真值正確的（truth-correct）。

（2）如果M是真值正確的并且滿足條件（T1）和（T3）的逆，那么M是一個真值完全（truth-complete）的模型。即，當N∈M并且 φ∈Def（N）時，N? φ蘊含著True（N，φ），Nφ蘊含著 False（N，φ）。

可以看出，M是真值完全的當且僅當它滿足條件（T0）。如果在M的定義域中只有全模型，那么條件（T2）和（T3）是等價的。這時，“為假”和“不為真”這兩個概念是一致的。但是，對于定義域中包含非全模型的模型來說，“為假”和“不為真”這兩個概念是不同的。

下面把“為假”和“不為真”這兩個概念和塔斯基的T-模式做一比較：

語句是真的當且僅當S。

這里，指一個英語語句S?？梢钥闯?，塔斯基的T-模式無視條件（T2）和（T3）的區別。

塔斯基的T-模式隱含地假設世界是自返的，并且我們有在世界中討論世界的方法。換句話說，T-模式隱含地假設我們有某個項指涉模型M自身。給定這樣一個項，我們把True簡記為 True（）。

命題3 令M是一個自返的模型，有一個項指派M自身，即denM（）＝M。對于任意的語句φ∈Def（M），φ在 M中有一個名字，即 denM（）＝φ。如果 M滿足（T1）和（T1）的逆，那么True（）?φ

證明：很容易證明，這里從略。

三、幾個和真謂詞有關的悖論

有了前面的工作做準備，下面我們以說謊者悖論、強化的說謊者悖論、佐丹卡片悖論為例，說明反基礎模型論解悖方法的巧妙之處。為了方便，把謊言語句形式化為“ Trueh（this）”，這里True和h（指“here”）是指我們語言中的常量或變量。謊言語句的實際意思是“本語句在此模型中不是真的”，用反證法，可以證明下述謊言定理：

定理1（謊言定理） 令λ是謊言語句 Trueh（this）。如果M是一個真值正確的模型，那么至少下述三者之一不成立：

（1）This在M中的指派是λ；

（2）h在M中的指派是M；

（3）M? λ λ。

特別地，如果（1）和（2）同時成立，那么M不是一個全模型。

證明：用反證法。假定（1）（2）和（3）同時成立，就會得到矛盾的結論。因為M?λ λ，根據定義5可得，M? λ M? λ。首先，假定 M? λ，即 M? Trueh（this），根據定義5可得，M? －Trueh（this）。因為this在M中的指派是λ，h在M中的指派是M，由定義5，〈λ，M〉在True的反外延中。但是，由（T3），Mλ。Mλ與 M? λ相矛盾?，F在假定 M? λ，即，M? Trueh（this）。由定義5，〈λ，M〉在True的外延中，由（T1），M? λ。M? λ與 M? λ相矛盾。所以（1）（2）和（3）不能同時成立。

因為（1）和（2）同時成立，所以（3）不成立。用反證法。假定M是一個全模型，所以〈λ，M〉要么在True的外延中，要么在True的反外延中。如果〈λ，M〉在True的外延中，根據（T1），M?λ。因為M是全模型，所以（T2）和（T3）是等價的。如果〈λ，M〉在 True的反外延中，根據（T2），M?－λ，由定義5可得，M? λ。M?λ或者M? λ，根據定義5可得M?λ λ。這與（3）不成立相矛盾。所以，如果（1）和（2）同時成立，M就不是一個全模型。

已經提出的說謊者悖論的大多數“解法”可以看作拋棄（1）（2）和（3）三者之一。塔斯基不允許語言中包含真謂詞，所以語言層次理論使（1）成為不可能。真值間隙論認為世界是完全的，任何斷言要么真要么不真，所以它放棄了（3）。語境敏感方案放棄了（2），其思想是認為忽略了語境的變動所以出現了悖論。h的指派在斷定前和斷定后是有所變動的。下面通過兩個例子說明這種變動如何發生，并由此認為語境敏感對于解釋說謊者悖論背后的直觀推理似乎是有道理的。

例子1 首先，構造一個真值正確的模型M0，使M0盡可能地接近由謊言定理排除的模型，但是M0放棄了謊言定理中的條件（2）。構造的模型M0滿足下列3個條件：

（1）This在 M0中的指派是 λ＝ Trueh（this）；

（2）M0是自返的并且有它自身的一個名字；

（3）M0是一個全模型。

由謊言定理，使它成為可能的是將有某個項而不是h在M0中的指派為M0。

令M0被定義如下：

顯然，模型M0有上述（1）（2）和（3）三個性質?？梢钥闯?，M0的定義域D中只有兩個元素：λ和M0。可以在D中放入更多的元素，如x、y、z…，但是即使放入再多的元素，也沒有什么用處。

需要注意的是，h在M0中沒有指派，所以λ在M0中既不為真也不為假。由（T1），〈λ，M0〉在True的反外延中。

已經知道λ在M0中不為真，可以通過謊言語句 Truem0（this）這么做。因為 M0? Truem0（this）。

在此，悖論消失了。因為有一個不同于λ＝ Trueh（this）的謊言語句λ′＝ Truem0（this），this在M0中的指派為 λ＝ Trueh（this）。

這個例子恰好回應了強化的說謊者悖論，然而并不完全是強化的說謊者悖論，因為語句從λ變為λ′。為了模型化強化的說謊者悖論，我們和最初的說謊者語句λ一樣做出相同的斷言。

例子2 構造一個真值正確的自返模型M1，并且使M1滿足下列3個條件：

（1）This在 M1中的指派是 λ；

（2）h在 M1中的指派是M0；

（3）M1是一個全模型。

令M1被定義如下：

這里，模型M0是例子1中構造的模型。模型M0和M1是非常相似的，如果不在M1的語境c′中放入有序對〈h，M0〉，那么模型M0和M1是互模擬的，因此模型M0和M1是等同的。

例子3 構造一個滿足下列3個條件的模型M2：

（1）This在 M2中的指派是 λ＝ Trueh（this）；

（2）h在 M2中的指派是M2；

（3）M2是一個真值正確的模型（但M2不是一個全模型，全模型的情況由謊言定理排除掉了）。

令M2被定義如下：

需要注意的是，M2是一個真值正確的自返模型，正如謊言定理預測的那樣，M2既不使λ為真，也不使 λ為真。

再次看強化的說謊者悖論，這次使之與M2相聯系。

例子4 存在一個滿足下列3個條件的模型M3：

（1）This在 M3中的指派是 λ＝ Trueh（this）；

（2）h在 M3中的指派是M2；

（3）M3是一個真值正確的全模型。

令M3被定義如下：

這里，悖論消失了，因為謊言語句不是關于模型M3的，而是最初的部分模型M2。用這種方法模型化事物，謊言語句就不是真的，但是強化的說謊者是真的。即，λ（和λ）在M2中不為真，但是λ在M3中為真。在謊言語句和擴展的謊言語句之間有一個語境的變化；它們同樣是關于相同的模型M2，但是卻是在模型M2和M2的擴張M3中被評價的。

例子5 令α＝Trueh1（that2），β＝ Trueh2（that1）。α表達的意思是“β語句在此模型中為真”。β表達的意思是“α語句在此模型中為假”。構造兩個真值正確的全模型M4和M5，使得that2在M4中的指派是β，h1在M4中的指派是M4，that1在M5中的指派是α，h2在M5中的指派是M4。

令M4被定義如下：

類似地，令M5被定義如下：

模型M4和M5都有想要的性質。

四、結語

可以看出，上文重點闡釋和具體說明的反基礎模型論解悖方法，不僅通過解釋在不同情境中指派發生的變化以達到消解悖論的目的，同時還從側面揭示了說謊者悖論產生的根源。由此可知，反基礎模型論解悖方法對說謊者悖論進行處理的做法和情境語義學解悖方案有著相似之處。

本文主要討論了在建構反基礎模型論這一數學框架的基礎上，通過給語言增加真謂詞的方法，消解了幾個包含真謂詞的悖論。當然，用同樣的方法，我們也可以分析誠實者語句、偶然的說謊者等與之類似的問題。同理，在巴威斯等所構造數學框架的基礎上，我們還可以通過給語言增加指派謂詞的方法，消解指稱悖論，這也是筆者希望接著進行探討的另一研究內容。