坡代數的區間值模糊理想

王豐效

WANG Fengxiao

喀什大學 數學與統計學院，新疆 喀什 844000

College of Mathematics and Statistics,Kashigar University,Kashi,Xinjiang 844000,China

1 引言

坡代數是由控制論專家曹志強提出的[1]，關于坡代數的相關概念和理論在曹志強與Kim和Roush合著的專著[2]中給出了詳細的介紹。坡代數及坡代數上的矩陣理論在自動機理論、控制論、神經系統等領域有著很好的應用前景。1965年，Zadeh創立了模糊集的理論[3]。Rosenfeld提出了模糊子群的概念[4]，標志著模糊代數研究進入了一個新的領域。隨后模糊集的理論被廣泛應用于代數系統，并取得了豐富的研究成果。Jun等將模糊集的理論應用于坡代數，給出了坡代數的模糊子坡代數和模糊理想的概念，得到了坡代數的模糊子坡代數和模糊理想的若干等價條件和性質[5]。文獻[6]和[7]討論了坡代數的直覺模糊理想和坡代數的T-模糊理想。隨后，許多學者對坡代數進行了一系列的研究，取得了豐富的研究成果[8-11]。文獻[12]將模糊集的概念推廣到區間值模糊集（Interval-Valued fuzzy set，I-V模糊集），文獻[13]討論了半群的I-V模糊理想，文獻[14]研究了N（2，2，0）代數的I-V模糊子代數，文獻[15]研究了布爾代數的I-V模糊理想。本文將I-V模糊集的概念應用到坡代數，給出了坡代數的I-V模糊理想的概念，并討論了其相關基本性質，為今后深入研究坡代數創造了必要條件。

定義1[2]設X是一個集合，若+和*是X上的兩個二元運算，且對任意x,y,z∈X滿足以下條件：則稱(X,+,*)為坡代數。

設(X,+,*)為坡代數，在X上定義關系≤如下：對任意x,y∈X,x≤y當且僅當x+y=y，則≤是X上的一個偏序關系。

定義2[2]設(X,+,*)和(Y,+,*)是坡代數，f:X→Y為映射。若對于任意x1,x2∈X，有：

成立，則稱 f:→Y為從X到Y的同態。

定義3[6]設(X,+,*)是坡代數，A是X上的模糊集，若對于任意x,y∈X有：

A(x+y)∧A(x*y)≥A(x)∧A(y)則稱A是X的模糊子坡代數。

定義4[6]設(X,+,*)是坡代數，A是X的模糊子坡代數，并且若x≤y有A(x)≥A(y)，則稱A是X的模糊理想。

稱aˉ=[a-,a+]?[0,1]為區間數，用 D[0,1]表示區間數的集合。對于D[0,1]中的兩個元素可以定義加細極小（記為γmin），并且規定D[0,1]中元素的大小。D[0,1]中元素，規定：

設X是非空集合，X上的一個區間值模糊集（I-V模糊集）定義為：

2 坡代數的I-V模糊理想

定義5設(X,+,*)是坡代數，Aˉ是X上的I-V模糊集，并且滿足：

如無特殊說明，在不致引起混淆的情況下，X總表示一個坡代數。

由區間數的大小定義可知：

從而

3 坡代數的I-V模糊理想的直積和同態像

引理1設(X,+,*)和(Y,+,*)是兩個坡代數，在X×Y上定義兩種運算加法+和乘法*如下：對任意(x1,y1),(x2,y2)∈X×Y ，規定：

則X×Y關于上述兩種運算構成一個坡代數。

并且若(x1,y1)≤(x2,y2)，這里(x1,y1)≤(x2,y2)是指x1≤x2，y1≤y2，因此有：

先證明如果(x1,y1)≤(x2,y2)，則：

事實上，由于：

定理4設(X,+,*)和(Y,+,*)是兩個坡代數，f:X→Y為同態滿射，并且映射 f單增。如果是X的I-V模糊理想，則 f(Aˉ)是Y 的I-V模糊理想。其中

證明 對于任意的y1,y2∈Y，由于 f是X到Y的同態滿射，故存在x1,x2∈X，使得：

若 x1≤x2，f(x1)=y1,f(x2)=y2，映射 f單增，所以y1≤y2。故

4 結束語

本文將區間值模糊集的思想和概念應用于坡代數，給出了區間值模糊理想概念，討論了坡代數的區間值模糊理想的相關性質以及坡代數區間值模糊理想的同態像的相關性質，得到了一些有意義的結論。這些結論不但有助于進一步把握坡代數的模糊結構特征，而且也有助于促進區間值模糊集理論與坡代數理論間的相互融合。同時，本文所運用的研究方法對于其他代數系統類似問題的研究具有一定的借鑒意義。

參考文獻：

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[15] 王豐效.N（2，2，0）代數的I-V模糊子代數[J].黑龍江大學自然科學學報，2017，34（3）：301-304.