基于反饋系統FXLMS的非線性主動降噪

蘇雨，盧劍偉，邵浩然

（合肥工業大學機械工程學院，安徽 合肥 230009）

0 引言

家用空調器室內柜機噪聲問題一直是各大家電企業關注的問題，被動降噪技術可以消除大部分的中高頻噪聲，但卻對更影響人們身心健康的低頻噪聲束手無策[1-3]。主動降噪則對低頻噪聲消噪有著較優的效果，并且可以在一定的窄帶頻段上自適應消噪而不是單一頻率上進行消噪[4]。家用空調器室內柜機內部空間小、聲場復雜，所導致系統聲反饋問題和參考噪聲不易獲得問題限制了其可應用的主動降噪系統的結構為反饋型系統[5-7]。

反饋型主動降噪系統基本原理是對初級噪聲進行估計，并用這個估計代替實際的噪聲信號作為主動降噪系統的參考信號，整個系統降噪性能取決于次級通道估計的準確度[8-9]。基本的自適應濾波算法的濾波器都是線性濾波器，對次級通道的非線性部分難以很好地跟蹤、擬合和預測。且反饋型系統穩定性較前饋型差，當誤差過大時反饋型系統易失去降噪效果[10-11]。

本文為了提高反饋型系統的性能以取得更大的降噪量，引入Volterra級數，并對其進行截斷和簡化成二階非線性濾波器。利用其非線性特性和記憶性，對次級通道傳遞函數非線性部分進行跟蹤、擬合和預測[12-15]。對比次級通道為不同系統時基于非線性濾波器和線性濾波器的反饋自適應算法的收斂速度和降噪性能。針對某公司家用空調器室內柜機的低頻段噪聲的特性，基于德州儀器的TMS320VC5509 DSP搭建硬件系統，試驗驗證了引入非線性濾波器后的降噪量有所提高。

1 問題簡述

對某品牌家用空調器室內柜機進行單機運行噪聲測試，得到其低速工況和高速工況下噪聲頻譜圖。

圖1 低速工況噪聲頻譜圖Fig.1 Noise spectrum of low speed working condition

圖2 高速工況噪聲頻譜圖Fig.2 Noise spectrum of high speed working condition

可以看出家用空調器室內柜機的噪聲分布頻域較廣，且低頻段噪聲能量較大。傳統的被動降噪方法對低頻消噪效果不好且只能針對某個頻率。工況變化時，噪聲頻譜隨之變化，傳統降噪方法無法隨著工況的改變而自適應降噪。

2 算法原理

2.1 非線性Volterra濾波器

對于單一輸入x( n)、單一輸出y( n)的非線性連續時不變系統，其輸入輸出的響應可以用Volterra級數來表示：

對其進行離散余弦變化并寫成矩陣形式：

對比常用的FIR濾波器的表達式（4），簡化后的二階Volterra濾波器比FIR濾波器多了非線性的平方項，保留了其非線性特性。

2.2 反饋系統FXLMS算法

在LMS算法的基礎上，FXLMS算法考慮了揚聲器和誤差麥克風之間的次級通道，補償了次級通道中揚聲器和誤差麥克風之間的信號不同步問題。基于FXLMS算法的反饋系統噪聲主動控制原理如圖3所示。

圖3 FXLMS反饋系統框圖Fig.3 Block diagram of FXLMS feedback system

反饋型系統FXLMS的基本原理是對初級噪聲進行估計，并用這個估計代替實際的噪聲信號作為主動降噪系統的參考信號x( n)。反饋型系統的特點是不存在初級通道，只有次級通道。對于反饋型FXLMS算法，如果次級通道估計準確即則整個算法的性能取決于d( n)預測準確與否，也就是次級通道的建模精度。其中：

其中，自適應濾波器的輸入、輸出為：

自適應濾波器的系數更新為：

將簡化的二階Volterra濾波器來代入反饋型FXLMS算法中得到反饋型非線性FXLMS算法，其濾波器更新迭代變為：

自適應的輸出也變為：

3 仿真及結果分析

我們設計次級通道為不同的類型，對反饋型非線性FXLMS算法和反饋型線性FXLMS算法進行次級通道建模性能、算法性能仿真模擬分析。通常使用均方誤差（NMSE）作為自適應算法性能的檢驗指標，對比曲線的下降速度和收斂值可以直觀的看出算法收斂速度和降噪性能。

首先針對次級通道為線性和非線性的兩種情況進行仿真。設定兩個濾波器長度均為16，輸入的信號x( n)為方差為1均值為0的高斯白噪聲信號。次級通道為線性系統：

次級通道為線性的時候，對比NMSE仿真圖兩個曲線幾乎完全重合。可以直觀的看出兩個濾波器的性能相當，估計的均方誤差收斂速度和收斂值都無明顯差別。

次級通道為非線性系統：

圖4 次級通道為線性的NMSE性能比較Fig.4 NMSE comparison of linear secondary channel

圖5 次級通道為非線性的NMSE性能比較Fig.5 NMSE comparison of nonlinear secondary channel

次級通道為非線性的時候，對比NMSE仿真圖，可以看出Volterra濾波器的均方誤差收斂速度要快于FIR濾波器，且NMSE穩定時值要更低。說明Volterra濾波器的非線性性能要優于FIR濾波器。對比次級通道為線性、非線性時，兩個濾波器各自的NMSE性能可以看出，次級通道為非線性時FIR濾波器的建模精度降低、從而算法性能也相應變差，而對Volterra濾波器來說則幾乎沒有影響。

實際工程中常遇到的系統通常很少用線性和非線性進行劃分，而是根據其在控制工程方面的特性進行劃分。一般根據系統的零點都在單位圓內還是有一個或者多個在單位圓外，將系統分為最小相位系統和非最小相位系統。下面對次級通道為最小相位系統和非最小相位系統兩種情況進行仿真和對比分析。次級通道為最小相位系統時：

次級通道為非最小相位系統時：

圖6 次級通道為最小相位的NMSE性能比較Fig 6 NMSE comparison of minimum phase secondary channel

圖7 次級通道為非最小相位的NMSE性能比較Fig.7 NMSE comparison of non-minimum phase secondary channel

次級通道為最小相位和非最小相位時，Volterra濾波器的建模精度以及算法性能都要優于FIR濾波器，且非最小相位時NMSE穩定時差值要更大一點。次級通道為非最小相位時，系統中存在著遲滯環節，相較于最小相位系統，兩濾波器的收斂速度都變慢且NMSE穩定值變高，綜合性能都變差。可以看出系統的遲滯環節對系統的跟蹤預測準確度來說有較大的影響。

綜合四種仿真情況，可以對比分析出引入簡化的二階Volterra濾波器的反饋FXLMS算法性能較FIR濾波器要更優，對系統的非線性和遲滯環節都有較優的跟蹤預測性能。

4 試驗驗證

基于德州儀器的TMS320VC5509 DSP搭建了如圖8所示的硬件系統，布置在了家用空調器內部區域。我們用計算機模擬前面測試的室內柜機噪聲源低頻段噪聲特性，控制揚聲器播放30 Hz 、110 Hz、170 Hz、220 Hz、280 Hz、330 Hz、390 Hz多個單頻正弦噪聲的合成噪聲，分別采用反饋型非線性FXLMS算法和反饋型線性FXLMS算法來進行降噪。設計兩濾波器長度均為16，目標降噪頻段均為100 Hz至 400 Hz。

圖8 主動降噪硬件系統圖Fig.8 Active noise control hardware system

圖9 柜機降噪試驗測試圖Fig.9 Noise reduction test picture of indoor unit

測試試驗得到了降噪前后對比圖。

圖10 噪聲頻譜圖Fig.10 Noise spectrum

圖11 FIR反饋FXLMS算法降噪后頻譜圖Fig.11 Noise spectrum of noise reduction after feedback FIR-FXLMS

圖12 Volterra反饋FXLMS算法降噪后頻譜圖Fig.12 Noise spectrum of noise reduction after feedback Volterra-FXLMS

對我們設計的降噪頻段的A計權數值進行計算統計，結果如表1所示。

表1 降噪試驗結果Table 1 Noise reduction test result

對圖8和表1中的測試結果進行分析對比，我們可以看出在100 Hz至400 Hz的設計降噪頻段內，降噪后的頻譜圖中的突出頻率波峰明顯較降噪前減小。Volterra反饋FXLMS算法的降噪性能在整個設計頻段都要優于FIR反饋FXLMS算法。FIR反饋FXLMS算法總頻段降噪量較小為1.2 dB，在有些頻段甚至出現了增加現象。Volterra反饋FXLMS算法則降噪性能較優，總頻段降噪量為7.7 dB，設計頻段內都產生了一定的降噪量，特別是250 Hz至400 Hz降噪量比較大。250 Hz至400 Hz頻段為設計頻段內的較高頻段，相比低頻來說人耳較為敏感且較易引起人的煩躁感，主觀降噪聲品質更好。

5 結論

根據前面的模擬仿真工作和試驗驗證，我們可以得出兩個結論：① 在系統的非線性和遲滯環節的跟蹤預測方面，引入Volterra非線性濾波器后的反饋FXLMS算法較FIR濾波器都有較優的性能。② 針對家用空調室內柜機低頻噪聲，非線性反饋FXLMS主動降噪系統降噪量明顯比線性反饋FXLMS主動降噪系統更高。

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