丟番圖方程x3－1=1 477y2的整數解

黨 榮

(渭南師范學院東盟博仁財經學院，陜西渭南714099)

0 引言

丟番圖方程，又名不定方程，是指變量個數大于方程個數且解為整數值的方程(或方程組)。它與組合數學、代數幾何和代數編碼等學科有著密切的聯系。近年來，許多中外學者在代數數論、組合數論和群論等數學分支中都提出了一些丟番圖方程問題，它的研究成果不僅對數學的各個分支起著推動作用，而且對非數學學科，例如計算機科學、電子學、信號數字處理等有著重大的實際意義。

求解丟番圖方程的方法有很多種，初等方法和非初等方法都可以予以證明，長期以來一直受到數論研究者的關注，特別是對Pell方程x3－Dy2=±1的研究已取得了許多成果，Pell方程理論對于求解其他丟番圖方程的整數解問題有著很大的幫助。

方程x3±1=Dy2(D＞0)是一類重要的丟番圖方程，其整數解已經有不少人研究過。柯召、孫琦［1－2］證明了x3－Dy2=±1當D＞2，D無平方因子且不含6k+1型的素因子時，方程x3－Dy2=±1無平凡整數解。但當D含6k+1型的素因子時，該方程的非平凡整數解的求解較為困難。李雙志、羅明［3］給出了方程x3+1=201y2的所有整數解。韓云娜［4］給出了方程x3－1=38y2的所有整數解。曹珍富等人［5－6］給出了丟番圖方程更一般的求解理論。段輝明［7］討論了方程x3+1=57y2的整數解問題。陳斌［8－9］討論了與其相關的一類不定方程的整數解問題。然而關于x3－1=1 477y2這類方程的整數解的問題至今無人研究和討論。本文利用初等方法討論和研究得出了該丟番圖方程x3－1=1 477y2的整數解。

1 引理

由一類丟番圖方程x3±1=Dy2(D＞0)的研究結果可知，想要求解丟番圖方程x3－1=1 477y2的整數解，首先需要引入以下幾個引理。……