函數型部分線性自回歸模型在金融中的應用

王咪咪,丁 輝

(滁州學院 數學與金融學院，安徽 滁州 239000)

在金融交易市場中,常常會有在一個時間段內連續被記錄的數據。譬如，在股指期貨交易市場上，任意小的交易時間區間內都會產生交易，衍生出很多高頻數據。高頻數據可以看成一個時間區間內連續被記錄的數據。因此,可視為函數型數據，函數型數據分析是分析和處理高頻數據的必備利器。國內外已有一些學者在函數型數據視角下研究金融經濟市場中的內在規律，也得到了一些寶貴研究成果。郭均鵬通過函數型主成分分析方法研究了Shibo市場中的各期限利率的波動問題[4]；劉春義等通過使用函數型聚類分析方法研究了我國經濟發展的周期問題[7]；龍文等借助于函數型主成分分析探討了不同國家之間的金融危機時期經濟發展的差異性[8]；趙煜[10]在函數型數據分析視角下對生態經濟系統的分析前景進行展望。然而，上述所有研究均無法刻畫因變量的過去對其產生的影響。實際上，因變量的過去時刻常常會對其產生影響。因此，通過自回歸的介入，在函數型線性的模型上加入自回歸部分來刻畫因變量的過去時刻的影響，即函數型部分線性自回歸模型。該模型既能刻畫函數型協變量與因變量之間的關系，又能表現因變量的過去時刻對當前時刻的影響。

1 函數型部分線性自回歸模型

給出函數型部分線性自回歸模型：

(1)

其中，X(t)是區間I上平方可積的函數型變量，Y是因變量，p是滯后階數，誤差項ε滿足Eε=0,Varε=σ2。自回歸模型為此模型的一個特例(β(t)≡0 )，函數型線性模型同樣也為此模型的一個特例(φ1=…=φp=0)。

關于該模型的估計，我們采用剖面最小二乘估計[1]：

(2)

(3)

(4)

(5)

可以求出模型的參數φ1,…,φp和非參數函數g(·)的估計。

令Y=(Yp+1,…,Yn)T，Φ=(1,φ1,…,φp)T，W=ζ(ζTζ)-1ζT，Z0=(1,…,1)T(n-p)×1,Z1=(Yp,…,Yn-1)T,Z2=(Yp-1,…,Yn-2)T,…,Zp=(Y1,…,Yn-p)T，Z=(Z0,Z1,…,Zp)T，Y*=(I-W)Y,Z*=Z(I-W) ，I為n-p階單位陣。于是(2.5)可化為(Y*-Z*TΦ)T(Y*-Z*TΦ)，則：

(6)

把(6)帶回(4)得：

(7)

到目前為止，已經求得了模型參數的估計。然而，在求解模型的參數估計過程中必然會涉及到滯后階數p的選取，統計模擬時采取交叉驗證準則來選擇p。

2 統計模擬

按照下面的模型來生成數據：

表1 估計均值和標準差(括號)或RASEs和標準差(括號)結果表

從表1可見，α,φ1,…,φ3估計偏差與估計標準差β(t)估計均方誤RASE均隨著樣本量的增加而減少，因此，可以看出估計方法的優良性。

3 實證分析

選擇2015年6月1日至2016年3月1日總共183個股市交易日的上證指數數據。模型的因變量為開盤價Y，函數型協變量為每個交易日每5分鐘的上證指數X(t)，每個交易日每5分鐘的數據共48個。首先進行預處理，對開盤價Y和每5分鐘的上證指數X(t) 取對數，目標為尋找合適的模型對開盤價進行預測。顯然，開盤價既受過去時期開盤價的影響，又與Xi(t)有關，考慮函數型部分線性自回歸模型：

(8)

表2 不同模型及其相對應的平均預測誤差(單位×10-5)

從表2可知，函數型部分線性自回歸模型平均預測誤差最小，比線性模型的預測效果提升了65.8%，比自回歸模型的預測效果提升了97.6%。可見，函數型部分線性自回歸模型擬合效果最好。

4 結語

函數型部分線性自回歸模型既刻畫了函數型協變量與因變量之間的關系，又考慮了自回歸效應，體現了因變量過去時刻的影響，因而具有廣泛的適用性，可為今后研究函數型數據提供一種新的工具。

參考文獻：

[1] H?rdle W,Liang H,Gao J. Partially linear models[M].New York: Springer，2000.

[2] Ramsay J O， Silverman B W.Functional Data Analysis[M].New York: Springer，1997.

[3] Ramsay J O,Hooker G,Graves S.Functional Data Analysis with R and MATLAB[M].New York: Springer，2009.

[4] 郭均鵬,孫欽堂,李汶華.Shibor市場中各期限利率波動模式分析：基于FPCA方法[J].系統工程,2012(12):88-92.

[5] 姜高霞,王文劍.經濟周期波動的函數型時序分解方法：基于CPI的實證分析[J].統計與信息論壇,2014,29(3):22-28.

[6] 李敏.基于函數型主成分分析方法的用水量數據分析[J].合肥學院學報,2014，24(4):21-25.

[7] 劉春義,劉黎明,王少國.經濟周期測算的新視角：基于函數型數據分析方法[J].調研世界,2015(6):42-46.

[8] 龍文,李楠,王惠文,等.金融危機過程中不同類型國家經濟發展的差異性比較：基于函數數據分析方法[J].管理評論,2014,26(3):3-10.

[9] 米子川,趙麗琴.函數型數據分析的研究進展和技術框架[J].統計與信息論壇,2012,27(6):13-20.

[10] 趙煜,秦增舉.函數型數據分析及其在生態經濟系統中的應用展望[J].甘肅科技,2015,31(16):66-68.