考慮生產率調整的多產品EPQ與設備維修整合模型

劉學娟,趙 斐,馬曉洋

(1.北京科技大學東凌經濟管理學院,北京100083;2.東北大學秦皇島分校管理學院,河北秦皇島066004)

1 引 言

在企業的實際生產運作中,無論從部門設置方面還是職能履行方面,生產部門和維修部門都是兩個獨立的部門,生產部門制定產品的生產計劃,維修部門通過一系列的維修活動保障設備的正常運行.生產部門在進行生產計劃的安排時,往往假設生產設備在計劃期內是能夠正常運行的,忽略了設備在運行過程中會逐漸衰退甚至產生故障的實際情況,沒有考慮設備的可靠性.當然,生產設備不會一直處于良好運轉的完美狀態,在實際生產過程中,需要定期或不定期對設備進行預防性維修和修復性維修等一系列維修活動,以保障設備的正常運行.設備維修是生產計劃得以執行的關鍵因素,但勢必占用實際的生產時間,若維修部門不考慮生產部門的生產計劃,僅僅從設備自身的性能考慮來安排維修,會與生產部門在設備使用上產生沖突,從而影響交貨期、生產排程及生產鏈中的各個環節,造成延誤客戶訂單、降低客戶滿意度等不良影響,給企業帶來一定的經濟損失.所以,越來越多的學者開始對生產計劃和設備維修的整合問題進行研究,目前此類整合問題的研究主要集中在三個方向,一個方向是側重于連續型生產的經濟生產批量(economic production quantity,EPQ)與設備維修整合研究[1-2],一個方向是側重于離散型生產的中期生產計劃與設備維修整合研究[3-4],還有一個方向是側重于短期訂單式生產的生產排程與設備維修整合研究[5].本文針對其中一個方向即EPQ與設備維修的整合問題展開研究.

這類整合問題主要針對設備故障以及設備退化的情況與EPQ相結合進行研究,通過費用最小化或者利潤最大化得出最優的設備維修周期、最優的經濟生產批量,等等.最初的研究只是簡單的在EPQ問題中將設備可能發生故障的情況考慮進去,利用小修和完美維修解決設備的故障問題[6-8];還有將設備的退化問題和質量維修加入到EPQ模型中去[9-11],這類研究是考慮設備運行退化的過程中由受控狀態(in-control state)到非受控狀態(out-of-control state)的轉變.隨后,基于初期的這些研究,更多的研究成果開始出現,如Cheung和Hausman[12]和Dohi等[13]加入了安全庫存的影響,將預防性維修和安全庫存同時進行優化研究;Giri和Dohi[14]假設設備發生故障性停機的時間、修復性維修時間和預防性維修時間都是隨機的,建立了整合的EPQ和維修模型且給出了精確的算法.更進一步,有學者開始將設備故障、設備退化情況以及產品質量和EPQ等相結合進行研究,考慮當設備的運行狀態由受控狀態轉到非受控狀態時設備會生產出一定比率的不合格品即次品,在這種情況下制定維修策略,如Kim和Hong[15]假設在一個生產周期的生產過程中不合格產品會被檢測出,然后返回再加工,費用模型中考慮了再加工成本.呂和化[16]建立了考慮設備故障維修時間的經濟生產批量模型,模型中考慮了產品無缺貨和缺貨兩種狀態.以上研究成果中所涉及到的設備維修,主要是完美維修,而在實際中,完美維修是理想的狀態,所以,有學者開始將不完美維修加入到聯合優化研究中.如El-Ferik[17]和Bouslah等[18]研究了不完美維修在經濟生產批量模型中的應用;Chen[19]考慮在設備的in-control階段進行PM(preventive maintenance),正確的PM可以使得設備降低故障率,但也可能出現錯誤的PM使得設備進入out-of-control階段,從而產生不合格產品,而不合格產品又會被再加工成為合格產品.還有在聯合優化模型中維修的層面側重于考慮基于狀態維修的研究,如Jafari和Makis[20-21]利用比例故障率模型描述設備役齡,并分別運用連續的馬爾科夫過程和連續的隱馬爾科夫過程描述設備的退化過程,利用單位時間成本最小,得到最優維修策略及最優經濟生產批量;Bouslah等[22]將產品的樣本抽樣檢測和設備狀態檢測以及EPQ等同時進行聯合優化,并與普通的檢測模型與EPQ的聯合優化進行比較,得出此研究可以降低總成本的結論.綜上可見,關于EPQ和設備維修的整合研究已有很多成果,且能夠越來越準確的與實際相結合,但上述整合模型都是針對單一產品的研究,在實際的生產運行中,當一種產品的一個批次生產完畢后,會進入需求消耗階段,但設備不會停止運轉,而是可以接著生產另一個產品,即多產品輪番在同一設備上進行生產,但多產品EPQ問題和設備維修的整合研究還未展開,僅見Liu[1]對此問題進行初步研究,但只是考慮了生產率固定的情況,并在較為理想的狀態下建立了模型.

在上述研究的基礎上,為更進一步向實際靠攏,不同于以往只考慮固定生產率的情況,本文對變動生產率情況下多產品EPQ問題及設備維修相結合進行研究;為了使得生產計劃期內的費用描述更加全面,進一步加入了由于設備性能退化所生產出的不合格產品的處理費用;設備維修方面,不同于以往整合模型中單階段的設備故障模式,本文引入兩階段的延遲時間理論描述設備的故障模式,建立了全新的整合模型.文中首先對一種維修策略進行建模,即在生產周期末進行PM,逐步建立每個生產周期內的有效生產時間模型,庫存費用模型及故障和缺陷等相關維修費用模型等,然后建立生產計劃期內整合費用模型;同樣,對在每個設備調整點進行PM的情況也逐步建立了整合費用模型,并對其他維修策略進行了說明.最后為實證分析部分,其中生產數據及設備數據來源于國內某鋼廠鋼管的生產和設備資料,運用這些數據資料對所建立的模型進行運算,求解得到生產計劃期內的最優生產批量及最優維修策略,并通過得到的生產率調整系數對生產率的調整給出了建議.

2 多產品EPQ與設備維修整合模型

本節將針對兩種情況建立計劃期內總費用模型,一種情況是在生產周期末進行預防性維修,另一種情況是在每個設備調整點進行預防性維修.當然,還有其他可能的維修序列情況,都可以同理得到,因為實際中設備輪番生產的產品種類不會太多,所以可以用枚舉法將可能的維修序列列出,通過最小化費用模型求解得到最優的經濟生產批量及維修序列.

2.1 模型符號

表1 模型符號及含義說明Table 1 Notations and explanations

2.2 問題描述

1)在設備維修方面,本文運用國際維修界著名的延遲時間(delay-time)理論建立模型,該理論最早由Christer[23]提出,系統的故障過程被分成了兩個階段：正常運行階段及缺陷運行階段,如圖1所示,u是初始缺陷點,從系統開始運行到u為正常運行階段,從u到系統故障為缺陷運行階段,這一階段的時間長度為延遲時間,記為h,若在延遲時間內對系統進行檢測,則可發現系統的缺陷并進行維修,避免故障的發生,如圖1中的A點[24-25].延遲時間理論主要用于建立單部件系統和復雜系統的檢測模型,本文中的生產設備指的是復雜系統,見圖2,根據缺陷到達過程的情況以及延遲時間的分布情況,求解得到一定時期內設備的缺陷數量和故障數量,通過最小化檢測間隔期內相關費用為決策目標,求得最優檢測間隔期.

2)對于多產品輪番在同一生產設備上進行生產的情況,如果不考慮設備維修和設備調整造成的停工時間,理想的狀態如圖3所示(以三種產品為例),一個生產周期內,每種產品只生產一個批次[1],為了不打斷生產,選擇合適的設備調整點作為預防性維修的窗口,圖3中顯示的是在每個設備調整點都進行預防性維修的情形,也可以選擇只在周期末進行預防性維修等,通過優化費用模型可以選出最優的預防性維修序列.顯然,在實際中,設備維修和設備調整都會占用一定的生產時間,如果維持原有的生產率固定不變,則在生產計劃期內,產品的總需求量可能不被滿足,會產生缺貨等不良影響,而在計劃期一般不考慮產品缺貨的情況,所以結合停工時間的影響,本文將對變動的生產率進行分析.

圖1 延遲時間圖示，“○”初始缺陷點，“●”故障點Fig.1 Delay time concept,“○”initial defect point,“●”failure point

圖2 復雜系統延遲時間圖示Fig.2 Delay time concept of complex system

圖3 多產品經濟生產批量和預防性維修圖示，Δ：PMFig.3 Integrated strategy of multi-product and PM,Δ：PM

給定生產率pi,所有產品生產完工需要的時間為在實際中安排生產計劃時,考慮到停工時間的影響總成立,一般會根據歷史數據或者經驗估算出生產計劃期內可能的停工時間,進而確定生產數量.但設備在實際運行中,產生的停工時間可能多于或者少于原有的計劃時間,從而產生時間不夠用而缺貨或者有空閑時間的情況發生,所以,本文在模型中加入生產率調整系數,為方便模型建立及求解,統一加入調整系數δ,則產品的生產率變為δpi,若δ≥1,表明停工時間較多,企業需投入更多的人力等提升生產率保證需求量的滿足,若δ＜1,表明原計劃時間有空閑,可生產更多的產品.

2.3 模型假設

1)設備的缺陷到達是獨立的且為齊次泊松過程(homogeneous Poisson process,HPP);

2)設備中所有部件的延時時間是獨立同分布的;

3)為減少對生產過程的打擾,選擇合適的設備調整時刻對設備進行預防性維修;

4)預防性維修是完美的,可更新設備;

5)每個生產周期內,產品的生產順序固定;

6)在設備運行過程中發生的故障,采用小修方式處理,即只維修故障部件.

說明：關于假設條件1),在以往對延遲時間的應用中,設備的缺陷到達過程有齊次泊松過程和非齊次泊松過程,本文選擇齊次泊松過程來建立模型;假設條件2)廣泛運用于延遲時間的模型中,且被通過實際數據及仿真證明了其合理性[25];假設條件3)是為了能夠更好的切合實際,在生產過程中,為避免打斷生產造成損失,會盡可能選擇設備調整的時候對設備進行預防性維修,所以本文選擇設備調整時刻作為可選的預防性維修窗口;假設條件4)選擇了預防性維修的一種常用假設,設備可被預防性維修更新;由于每個生產周期每種產品均生產一個批次,按設定的順序輪番生產即可,本文不再考慮生產排序,即假設條件5);假設條件6)在設備維修的相關研究中被廣泛運用[26-27],為了減少對生產過程的打擾,使設備在故障率不變的狀態下繼續運轉,小修是合理的處理方式.

2.4 在生產周期末進行預防性維修

產品i在生產計劃期內的總需求量為Di,i=1,2,...,k,則每個生產周期內,產品i的需求量為Di/n,需求率為Di/L,實際生產時間記ξ0=0,由延遲時間理論[25]可知,ξi,Ti和ξi內由于設備故障造成的停工時間之間的關系為則在一個生產周期內,由于設備

式(1)為限制條件,其中若n確定,則可進一步將δ求解出來.

下面建立一個生產周期內的庫存模型,由于在每個產品的生產過程中,設備故障的發生是隨機的,不能確定準確的故障發生點,基于實際中故障停工時間遠小于生產運行時間,所以,本文假設在每個產品一個批次的生產過程中產生的故障集中在中間時段[1],如圖4所示.

圖4 一個周期內產品i的近似庫存情況Fig.4 The approximate inventory for product i in one cycle

所以,每個周期中所有產品總的庫存費用可表示為

每個周期的設備調整費用為EC(s)=kCs,周期末的預防性維修檢測費用為Cp,周期末檢測出的設備缺陷的期望維修費用為周期內設備故障的期望維修費用為此外,考慮到在設備的實際運行中,隨著設備運行時間增加,設備性能會逐漸衰退,會影響到所生產產品的質量,設備的期望故障數量與不合格產品的數量成正比,所以用β＞0建立不合格產品數量EN(dp)與設備期望故障數量之間的關系,即生產周期內處理不合格產品的費用為EC(dp)=CdpEN(dp).由問題描述可知,生產率的調整系數δ由實際情況的不同,其取值可能大于等于1也可能小于1,若δ＞1,表明生產企業需要付出更多的人力物力提升生產率,單位產品的生產費用方面也會比δ=1時有所增加,若δ＜1情況則相反,所以,生產率調整期望費用可表示為

綜上所述,生產計劃期內總費用為

由式(3)以及限制條件式(1),通過最小化式(3)取值可以求解得到最優n值和δ值,則每種產品的最優生產批量也可得出.

2.5 在每個設備調整點進行預防維修

若在每個設備調整點進行預防維修,ξi,Ti和ξi內由于設備故障造成的停工時間之間的關系為一個生產周期內總的停工時間滿足

每個周期中所有產品總的庫存費用的表達式與式(2)相同,每個周期中設備調整費用和生產率調整費用及設備缺陷維修費用的表達式與式(3)中這幾項費用的表達式相同,在此不再重復列出.由于在每個設備調整點進行預防維修,所以每個周期中預防性維修的檢測費用為kCp,設備的預期故障數量則設備故障的預期維修費用為進一步可知不合格產品的處理費用為

綜上所述,生產計劃期內總費用為

同樣地,可由式(5)以及限制條件式(4)求解得到最優n值和δ值,以及每種產品的最優生產批量.

式(3)和式(5)中,n為決策變量,對于n的每一個取值,都可以得出相應的δ值,但需要對n的取值范圍進行說明,否則在計算時不能夠確定得到的n是否為最優解.以式(3)中的n為例,由式(3)的限制條件式(1)易知

更進一步簡化可得1≤n＜L/((k-1)τs+max{τp,τs}),有了n的取值范圍,對整合模型可以遍歷n的取值尋找最優解.

第2.4節和第2.5節只是對兩種維修策略進行了說明,一種在周期末一種在每個設備調整點,但是對于多種類產品,每個生產周期有多個設備調整點都可以作為預防性維修的備選窗口,如圖5中有6個產品,可選的維修序列除了上述兩種以外,還有t2,t4,t6和t3,t6等等,同理可按前兩節的思路建立整合模型并計算最優解.實際中多產品輪番生產的情況,產品的種類不會太多,所以可以使用組合的方法把可能的維修序列選出,然后通過計算選擇最優維修序列.

圖5 六種產品輪番生產圖示Fig.5 A production cycle with 6 products

3 實證分析

本節對第2節建立的模型進行實證分析,表2為模型的參數取值,其中,產品需求量和設備相關參數的取值來源于國內某鋼廠鋼管的生產數據及設備運行數據,產品的數量單位為“t”,計劃期長度L為365天,即時間單位為“天”,費用單位為人民幣“元”.本例中假設延遲時間服從參數為α的指數分布,這個假設條件廣泛應用于以前延遲時間的文章中,并被用實際數據證明了其合理性[25].

表2 模型參數取值Table 2 The values of model parameters

首先計算在生產周期末進行預防性維修的情況,如果不考慮停工時間及不合格產品的影響,即由設備維修和設備調整引起的停工時間為零且模型中沒有不合格產品處理費用那一項,可知δ=1且最優解為EC(n?=30)=7 368,最優生產批量為Q1=D1/n=6 600/30=220,Q2≈333和Q3≈200.

若考慮停工時間,由式(3)可計算得出EC(n?=29)=7 557,δ=1.005 4,說明生產率應提升0.54%,且可以看出最優解比較接近于不考慮停工時間和不合格產品時的最優解,兩者之間的差異也是由停工時間和不合格產品處理費用引起的,下面以停工時間進行說明.對停工時間做敏感性分析,其他參數不變,運用式(3)可得結果如表3所示,可見停工時間越來越小,結果越來越接近EC(n?=30)=7 368.

表3 停工時間敏感性分析Table 3 Sensitivity analysis of downtime

同理計算在每個設備調整點進行預防性維修的情況,運用給定的參數及式(5),可得最優解為EC(n?=20)=6 224,小于EC(n?=29)=7 557,可見在本例中,兩種維修策略相比較,在每個設備調整點進行預防性維修要優于在生產周期末進行預防性維修,每年產品的最優生產批次為20.

但需要注意的是,上述結果會隨著參數取值的改變而發生變化,即當相關參數取值發生變化時,最優生產批次和最優維修策略都可能發生改變.如當Cp取值變化為100時,其他參數取值不變,在每個設備調整點進行預防性維修的情況下,EC(n?=10)=9 859,而在生產周期末進行預防性維修的情況下,最優解EC(n?=18)=9 610;又如當Cf和Cd取值分別變化為50和10時,其他參數取值不變,在每個設備調整點進行預防性維修的情況下,最優解為EC(n?=13)=3 162,而在生產周期末進行預防性維修的情況下,最優解EC(n?=16)=3 159,可見,在上述參數取值變化的情況下,不僅最優生產批次發生了變化,維修策略的選擇也發生了變化,即在生產周期末進行預防性維修成為較好的維修策略.

4 結束語

文中建立了考慮生產率變動的多產品經濟生產批量與設備預防性維修的整合模型,主要考慮了兩種維修策略,且說明了也可選擇其他設備調整點的組合作為預防性維修的窗口,在數值案例中對所建立的模型進行了運算,且運用敏感性分析說明了停工時間對最優解的影響,以及說明了參數取值的變化對最優生產批次及維修策略的影響.本文只是運用到了設備維修較簡單的層面,還可以進一步考慮機會維修、狀態監測維修等維修方式.還有較大的空間進行更深入的研究.

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