雙指數跳躍擴散條件下上市公司違約風險分析

宮曉莉,莊新田

(東北大學工商管理學院,遼寧 沈陽 110169)

1 引 言

隨著我國股票期權推出,金融市場信用衍生工具日益繁榮,上市公司公開募集資金信用問題愈加突出,如何測量信用風險,加強風險監管再次成為關注焦點.大型上市公司多采用映射法估計違約概率,即參考一系列相同風險債務人歷史違約信息,估計相似債務人違約可能性.由于只是粗糙劃分參考債務人,使得違約概率計算不夠精確.同時,金融市場數據時刻變化,歷史信息分析未來經濟波動對企業信用狀況影響也存在局限.KMV公司基于Merton期權定價思想研發出測算上市公司違約風險KMV模型,KMV方程利用Merton期權定價公式,假設公司資產價值動態遵循幾何布朗運動,研究最優資本結構問題[1,2],當企業資產價值低于負債門檻時,公司違約便發生.然而,受外界不穩定因素如金融危機、貨幣貶值等影響,公司股價呈現非連續式跳躍,資產價值經常大幅縮水,發生跳躍式變動.基于Merton期權定價的KMV方程無法反映跳躍風險.金融資產收益率在跳躍同時還表現出非高斯特性[3].幾何布朗運動趨于平穩分布特性不能捕捉金融市場跳躍特征和非高斯特性,無法描述突發因素下經濟現象.因此,金融跳躍波動下信用風險度量建模需要引進新跳躍成分以刻畫跳躍形態,追蹤市場非高斯特性.

KMV信用風險模型將股權價值看作資產價值的歐式看漲期權,資產價值過程服從幾何布朗運動,學者們逐漸轉向其他擴散過程取代幾何布朗運動.資產收益波動是一系列離散跳躍結果,Hilberink等[4]在資產價值變動中引入跳躍成分,采用時變L′evy模型分析公司資本結構,研究內在破產機理.但所設L′evy模型僅有向下跳躍過程,不能刻劃資產價值升值跳躍現象.Ran Huang[5]在KMV方程中增加復合泊松過程,刻畫突發因素引起的跳躍,通過金融數據波動探究公司資產價值跳躍變化,進而測算企業違約距離和違約概率.其中,復合事件模型假設跳躍次數服從泊松分布,隨機跳躍幅度服從正態分布.然而,正態分布跳幅不能捕獲收益率分布的尖峰、厚尾性.

據相關研究知,金融市場資產價格噪音分布呈現異于正態分布的獨特性,如尖峰厚尾性、集聚性和非對稱性等.Kou[6,7]證明了雙指數分布在尖峰、厚尾擬合上更符合金融理論建模和實際需要.同時，該類L′evy過程能同時反映市場上漲和下跌跳躍,更符合真實金融市場情形.由于雙指數分布具有無記憶性,在跳躍擴散期權定價模型中加入雙指數分布模型,使得各類期權定價結果的解析解變的可能[8],而正態分布下跳躍擴散模型卻得不到解析解.該模型在金融風險識別與管理上有很大應用優勢.向華等[9]使用雙指數跳躍擴散過程描述資產價值動態過程,研究時齊滾動債券均衡定價問題,給出公司最優結構計算式.羅長青等[10]建立行業信用風險指數,利用雙指數跳躍擴散模型鑒別出企業信用風險跳躍點.楊瑞成等[11]運用該模型對匯率進行了跳變識別;周偉等[12]結合胡素華[13]的指數分布形態,構建了同時滿足有偏、反對稱和尖峰厚尾特性的廣義雙指數分布,對比了正態分布、普通雙指數分布和廣義雙指數分布的雙重跳躍模型,發現廣義雙指數成分靈活捕獲了金融資產價格波動特征,具備擬合優越性.為此,本文將雙指數分布引進Ran Huang的復合泊松跳躍KMV方程,假設資產價格隨機跳躍幅度服從雙指數分布,跳躍次數服從泊松分布,通過測算違約距離和違約概率構建起上市公司違約風險新模型.

為度量金融跳躍波動下公司信用風險,描述資產價值動態跳躍現象,刻畫金融收益率尖峰、厚尾特性,本文以雙邊跳躍雙指數分布取代正態分布隨機跳幅,將雙指數分布跳躍擴散過程引入信用風險模型,擴展了帶復合泊松跳躍的KMV違約模型.使用股權信息反映資產價值跳變.引進雙指數分布能識別金融跳躍風險,使用雙指數跳躍擴散違約風險模型,測算上市公司違約距離和違約概率,對比分析存在跳躍風險和無跳躍風險下的違約概率,進而度量上市公司違約風險.新模型有利于完善信用衍生品定價理論,也為投資者應對違約風險、加強風險管理提供參考.

2 雙指數分布跳躍擴散信用風險模型框架

2.1 雙指數分布跳躍擴散期權定價模型

雙指數跳躍擴散模型中,資產價格動態過程[14]為

其中Wt是標準布朗運動,Nt是跳躍強度為λ,大小為V的泊松過程,Vi為獨立同分布非負隨機變量序列,對數跳躍幅度γ=ln(V)服從密度函數如下所示的非對稱雙指數分布

其中η1(η1＞1)和η2(η2＞0)分別表征投資者對外界利好與利空消息的反應敏感度,η值越大市場對外界沖擊反映越不敏感,表現為投資反應不足.雙指數分布的期望分別為1/η1,1/η2,η1＞1的條件確保E(V)＜∞和E(St)＜∞.I[y]代表示性函數.p,q≥0,p+q=1,概率密度函數積分后,向上跳躍概率為p,向下跳躍概率為q.

圖1 正態分布與雙指數分布峰部比較圖Fig.1 The peak comparison f i gure of normal distribution with double exponential distribution

圖2 正態分布與雙指數分布尾部比較圖Fig.2 The tail comparison f i gure of normal distribution with double exponential distribution

雙指數分布比正態分布更能體現收益率分布尖峰厚尾特性,與真實金融市場行情更貼近.與正態分布相比,體現了更高峰度和肥厚尾部,為了與標準正態分布N(0,1)作對比,令雙指數分布期望θ=0,標準差δ=1,根據設定兩組跳躍概率中上、下跳概率為p、q,圖形內p從上到下依次為0.3,0.4,...,0.8,間隔為0.1,下跳概率q從上到下依次為0.7到0.2.圖1和圖2六條雙指數分布曲線與正態分布對比圖可見,兩組分布比正態分布有更尖的峰部,左尾部分布(右尾分布類似)比正態分布更肥厚.

令V?=eγ?,Xt=ln(St/S0)表示資產價格對數收益率,則Xt可表示為

在式(5)基礎上,以股票為標的物,T時刻到期,執行價格為K的歐式看漲期權面臨與標的物相同風險.根據無風險套利原則[15],在風險中性測度下,St為鞅過程.雙指數跳躍擴散條件下t時刻歐式期權定價公式為

2.2 利用雙指數分布跳躍擴散期權定價模型分析公司違約

以企業包含股權和債權的資產價值為標的物,公司股權價值看作標的物歐式看漲期權.當資產價值低于債權臨界值時,企業存在違約風險.假設資產價值跳躍幅度服從雙指數分布,跳躍次數為泊松分布,公司股權和資產間存在非線性函數關系,通過上市公司金融市場上股權信息能測算上市公司相應資產價值變化.資產價值動態跳躍擴散模型為

其中At為t時刻的公司資產價值,上市公司股權是資產價值的歐式看漲期權,期權執行價格為企業的債務總額.

式(6)可變為

根據風險中性下無套利原理得

其中Std代表標準差.

上市公司債務總額由短期債務與長期債務構成,設定違約債務門限水平為D,當上市公司資產價值總額AT低于設定的負債門限水平D時,上市公司便發生違約,違約概率為

利用ln(AT/At)的概率分布來計算上市公司違約概率.式(8)給出了公司股權和資產值間函數關系,通過關系式用金融市場上的權益信息求解資產價值收益率概率分布中相關參數.為簡化雙指數分布計算的復雜性,滿足求參實際需要,假設股票和資產跳躍風險相同,λA=λS,并且μA=μS?St/At,結合以上計算并利用ln(ST/St)的未知參數可求得ln(AT/At)的概率分布函數式中未知參數μA,σA,λA,pA,η1A,η2A.從而利用上市公司股權交易跳躍模型分析公司相應資產價值跳躍動態,估算公司資產價值低于設定的負債水平的可能性,進而推斷上市公司違約概率.

3 雙指數跳躍擴散模型參數估計的MCMC方法

雙指數跳躍擴散模型參數估計方法使用馬爾科夫鏈蒙特卡洛模擬(MCMC)進行,MCMC將抽樣方法與蒙特卡洛積分結合,從未知參數后驗分布取樣,Gibbs算法能確保抽樣次數趨于無窮時,樣本分布為待估參數和潛在變量聯合后驗分布.在跳躍風險識別的參數估計方法上,MCMC優于廣義矩估計(GMM)等其他方法[16].樣本容量充分大時,增加蒙特卡洛迭代次數能有效降低模型從離散形式向連續形式的轉換偏差[17].實證研究發現：MCMC方法估計參數值不會因先驗分布不同而發生顯著變化[18,19],待估參數和潛變量后驗分布不隨先驗分布而變.

根據上述股價收益率概率分布參數,能確定資產價值收益率的概率分布參數.在計算相關參數前,需先確定股票收益率的分布函數,對式(5)歐拉離散化,計算離散時間Δt內的收益率Xt

當時間間隔Δt無窮小,離散形式收益率分布近似為連續時間形式,忽略高階無窮小量,根據泰勒近似表達式ex≈1+x+x2/2得

其中μ=Z和B分別服從標準維納過程和伯努利分布,Pr(B=1)=λΔt=k表示Δt時間內出現跳躍的概率為λΔt,零跳躍的概率為1-λΔt=1-k.離散情形下收益率Xt的密度函數能近似表示為

由于式(13)的計算復雜性而難以用EM算法或GMM算法估計,基于貝葉斯推斷的馬爾科夫過程蒙特卡洛模擬方法,通過構造平穩分布的Markov鏈充分刻畫變量的分布特性,并且增加模擬迭代次數能有效降低相對誤差.令x=(x1,x2,...,xn),ω=(μ,σ,k,p,η1,η2),B=(B1,B2,...,Bn),γ=(γ1,γ2,...,γn),參數空間ω關于收益率Xt的后驗分布由似然函數π(x|ω)和先驗分布π(ω)導出

迭代和推算求解需要依賴待估參數、跳躍時間和跳躍幅度的后驗分布,且

據實證研究結論,先驗分布選擇雖會影響收斂速度,但估計的參數值不會因先驗分布形式不同而發生顯著變化.選取計算過程中MC誤差最小的分布形式,未知參數先驗分布形式設定為μ～N(0,5),σ～IG(5,0.05),k～ Beta(2,35),η1～ Pareto(2.5,1),η2～χ(2),p～ U(0,1).在Gibbs抽樣中結合Metropolis-Hasting抽樣方法,從參數空間ω、跳躍時間B和跳躍幅度γ的后驗分布中抽取樣本直至Markov鏈收斂得到參數值.算法步驟如下：

步驟1根據先驗分布和后驗密度初始化ω0,B0,γ0;

步驟2抽取ωi+1～π(ωi+1,Bi,γi|x);

步驟3抽取Bi+1～π(Bi+1|ki)π(p|Bi+1,γi,μi+1,σi+1);

步驟4抽取

步驟5重復步驟直到Markov鏈收斂,停止迭代,輸出結果ω,B,γ.

4 引入雙指數跳躍的違約風險實證研究

4.1 上市公司權益價值跳躍風險分析

選擇權益價值跳躍風險的樣本為滬深交易所公開交易的上市公司,借鑒羅長青[10]研究行業信用風險時對行業的劃分,以信息技術業(行業Ⅰ)、零售業(行業Ⅱ)、電力行業(行業Ⅲ)、石油行業(行業Ⅳ)依次作為成長性行業、防御性行業、強周期性行業、弱周期性行業的代表.考慮到我國房地產行業的住宅目的占主體部分,投資性房地產只占少數部分,結合近幾年行業發展趨勢將其歸為防御性行業.選取2010年1月到2014年12月五年內行業指數周收盤價,研究數據來源于Wind資訊.

對上市公司收益率序列進行描述性統計,發現收益率波動存在尖峰厚尾特點.上市公司違約風險是基于資產價值發生跳躍突變的基礎,公司的股權價值作為資產價值的歐式看漲期權,其波動跳躍風險引起公司違約風險,跳躍風險是違約風險的前提.應用非對稱雙指數跳躍擴散模型對不同行業資產價格跳躍風險進行識別,模型求解使用MCMC迭代算法,預熱期為1 000,再進行500次迭代獲得待估參數值.雙指數分布跳躍擴散違約模型參數估計結果見表1.

表1的雙指數分布模型跳躍風險參數值看出四類行業的跳躍風險具有下列特征：

1)從跳躍概率k、跳躍幅度θ、跳躍波動率δ分析,2010年1月到2014年12月期間,房地產行業和信息技術行業跳躍概率高于電力行業與石油行業.其中,房地產業每年平均跳躍2次～3次,平均跳躍幅度為0.199,跳躍波動率為0.421;信息技術行業平均每年跳躍2次,平均跳躍幅度為0.107,跳躍波動率為0.3,石油行業和電力行業平均每年分別跳躍1次～2次與1次.以房地產行業為例,根據估計參數值生成模擬數據序列,并與原始數據做Q—Q圖對比,得到圖3.

表1 雙指數分布模型跳躍風險參數估計值Table 1 The parameter estimates of jump risk model with double exponential distribution

圖3 原始股指數據與模擬股指數據Q—Q圖Fig.3 The Q-Q f i gure of raw stock index data and simulation index data

圖3大致成一條直線,表明雙指數分布跳擴散違約模型很好的擬合了原始數據,構建的模型是有效的.模擬生成行業股指收益率的峰度和偏度,峰度為5.09,比正態分布陡峭,偏度為—0.36,服從左偏分布.使用不帶跳擴散過程擬合原始數據得到的平均絕對誤差大于模型的平均絕對誤差,表明模型擬合效果優于無跳擴散模型.

2)從跳躍方向p、跳躍風險大小μ、跳躍風險方差σ分析,四類行業收益率上跳概率均高于下跳概率,反映最近五年內信息技術行業總體平穩向上的發展趨勢和房地產行業收益率穩步增加的趨勢.從μ、σ值上看,電力行業與石油行業跳躍變化較大,波動幅度相對較寬,不同行業的違約風險跳躍特點有所差異.

3)從跳躍風險變化對外界消息的反映程度η1、η2分析,η值表示對外界消息的反應敏感度,η值越大表示跳躍變化對外界消息越不敏感.四類行業對不利沖擊的反應程度η1大于有利沖擊的反應程度η2,其中,房地產行業和信息技術行業對各類消息的敏感度強于石油行業和電力行業,說明國家宏觀政策調控樓市與高新技術產業的有效性.

可見,上市公司資產收益存在跳躍風險,隨著宏觀政策調控和社會突發事件對金融市場沖擊,跳躍風險出現明顯變化.為深入分析跳躍風險如何影響上市公司違約風險,分別從違約距離與違約概率兩個角度進行度量.

4.2 雙指數分布跳躍風險違約度量

違約距離度量了資產價值與違約門檻的距離,違約概率分析了公司信用狀況與違約可能性.上市公司被ST記作違約事件,以信息技術行業的?ST普林、電力行業的?ST東力、石油行業的?ST儀化2014年的周收盤價為研究樣本,對比測算上市公司2014年底跳躍風險下的違約距離、違約概率與無跳躍情形下的違約距離、概率.由于房地產行業無ST公司,故只選取其他三個行業的樣本代表,樣本數據來自上市公司年報.McQuown[20]在KMV模型里將違約門檻(D)設置為D=流動負債+0.5非流動負債,張大斌等[21]使用差分進化算法優化違約點系數,預測企業違約概率;曾詩鴻等[22]計算了82家上市公司,得出適合我國的違約門檻,違約門檻采用曾詩鴻的.違約距離使用Duff i e和Singleton[23]的計算方法該方法具有波動率計算的穩健性[24],在表2列出了本文計算結果.

表2 非跳躍情形下信用狀況和跳躍情形下信用狀況Table 2 The credit conditions in jumping situation and without

對比發現,跳躍情形下資產價值距違約門檻更近,平均違約概率高于非跳躍情形.樣本公司違約概率較大,分別為5.92%、3.02%和3.41%.這說明外界突發事件對金融市場的沖擊給公司帶來了跳躍風險,跳躍風險增加了公司違約可能性.由于我國股市存在漲跌停限制,樣本公司跳躍風險下的計算結果與純擴散過程計算結果相差不大.使用市場數據計算的違約距離包含了市場上公開交易的信息,能實時反映公司的信用狀況.

4.3 雙指數分布跳躍風險違約概率分析

仍以上述三家ST公司2010年1月到2014年12月的周收盤價為例,對比分析不存在跳躍的違約概率與跳躍情形下的違約概率,以及跳躍幅度取不同值時的違約概率.時間區間以年報的季度為單位,假設資產和負債不變,數值單位為百萬,分析跳躍規模方差δ2變化與時間變化對違約率的影響.

計算得*ST普林的年均資產價值At=789、違約門檻D=206、資產波動方差D(At)=0.007;*ST東力的At=1 987、D=898、D(At)=0.005;*ST儀化的At=8 691、D=3 593、D(At)=0.004,跳躍規模γ的方差δ2分別取值δ2=0、0.3、0.6,利用上市公司股票數據,變換后得到資產收益率相關參數,進而刻畫上市公司累積違約概率隨季度時間的變化.圖4到圖6反映了三家上市公司在跳躍規模方差取不同值時,累積違約概率隨時間變化情況.

信息技術行業的*ST普林、電力行業的*ST東力、石油行業的*ST儀化的累積違約概率呈現不同特點.*ST普林和*ST儀化的跳躍模型在短期內比無跳模型的累積違約概率更大,長期內違約概率高于無跳模型,長期內跳躍風險帶來更高違約可能性.這與公司三年內連年虧損股價頻繁跳躍而被冠以ST的事實相吻合.*ST普林在第8季度以后跳躍風險增加,邊際違約概率與無跳模型的邊際違約概率相同,*ST儀化在第6季度以后跳躍模型的違約概率明顯高于無跳模型的違約概率,邊際違約概率呈上升趨勢,上升速度逐漸加快,隨著時間變化,跳躍風險帶來的邊際違約可能性增加;外界突發事件沖擊金融市場時,資產價值跳躍風險δ變大,加快了違約概率上升速度.*ST東力的累積違約概率變化與其他兩家公司表現不同.樣本期間內跳躍模型累積違約概率始終高于無跳模型累積違約概率,第10季度以后邊際違約概率稍微增加.截止到第5年末,δ2=0的三家上市公司違約概率分別是42.3%,36.8%和39.3%,在數值計算上δ2=3的違約概率比δ2=0的數值分別高0.9%,1.69%和2.5%.

圖4 *ST普林不同方差跳躍規模下累積違約概率變化圖Fig.4 The cumulative default probability variation of Pulin under different variance jump size

圖5 *ST東力不同方差跳躍規模下累積違約概率變化圖Fig.5 The cumulative default probability variation of Dongli under different variance jump size

圖6 *ST儀化不同方差跳躍規模下累積違約概率變化圖Fig.6 The cumulative default probability variation of Yihua under different variance jump size

長期內,三家公司都表現出累計違約概率與跳躍波動方差正相關特點,對于公司信用評級有啟發式意義.通過金融市場上股票信息推導公司資產價值動態進而對企業信用評級,要區別對待不同信用風險溢價,除需考慮同跳躍幅度方差下不同時間內累計違約概率的不同外,更需考慮公司的個體異質性,使風險溢價合理反映公司違約風險.

5 結束語

上市公司違約風險分析一直是學界關注重點,以前研究大多未考慮金融資產收益率變動的尖峰厚尾性.金融市場資產價格噪音分布呈現異于正態分布的獨特性,如尖峰厚尾性、集聚性和非對稱性等,金融跳躍波動下信用風險度量建模需要引進新跳躍成分以刻畫跳躍形態.通過構建雙指數分布跳躍擴散違約風險模型將雙指數分布跳躍擴散過程引進信用風險KMV模型,識別了上市公司資產價格跳躍風險,進而測算了上市公司違約距離和違約概率.以雙邊跳躍雙指數分布取代正態分布隨機跳幅,使用股權信息反映資產價值跳變風險,對于公司信用評級具有指導性意義.

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